biến đổi các biểu thức chứa căn bậc hai

Bài viết trình bày một số kiến thức cần lưu ý và hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập biến đổi các biểu thức chứa căn bậc hai thường gặp.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

Từ quy tắc khai phương một tích ta có:

\(\sqrt {{A^2}B} = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = |A|\sqrt B \) với \(B \ge 0.\)

Tức là:

\(\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B \) với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0.\)

\(\sqrt {{A^2}B} = – A\sqrt B \) với \(A \le 0\) và \(B \ge 0.\)

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Từ \(A = \sqrt {{A^2}} \) với \(A \ge 0\) và quy tắc nhân căn bậc hai ta có:

+ Với \(A \ge 0\), \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} .\)

+ Với \(A < 0\), \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = – \sqrt {{A^2}B} .\)

3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn

Từ quy tắc khai phương một thương ta có:

Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{{B^2}}}} \) \( = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\sqrt {{B^2}} }} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{|B|}}.\)

4. Trục căn thức ở mẫu

Muốn trục căn thức ở mẫu ta thường nhân liên hợp để làm xuất hiện \(\sqrt {{A^2}} .\)

Vì \(\sqrt a \sqrt a = \sqrt {{a^2}} = a\), ta nói \(\sqrt a \) liên hợp với \(\sqrt a .\)

Vì \((\sqrt A – \sqrt B )(\sqrt A + \sqrt B )\) \( = \sqrt {{A^2}} – \sqrt {{B^2}} = A – B\), ta nói \((\sqrt A – \sqrt B )\) liên hợp với \((\sqrt A + \sqrt B )\) và ngược lại.

II. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1. Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

2. Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai căn thì thứ tự thực hiện khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

III. Bổ sung kiến thức: Chứng minh bất đẳng thức

1. Phép lập luận nhằm chứng tỏ một bất đẳng thức dạng \(A /> B\) (hoặc \(A \ge B\), \(A < B\), \(A \le B\)) là đúng được gọi là phép chứng minh bất đẳng thức.

2. Để chứng minh bất đẳng thức \(A \ge B\) ta thường chứng minh theo một trong các sơ đồ sau:

+ Sơ đồ 1: Tạo ra dãy các bất đẳng thức trung gian:

\(A \ge {A_1} \ge {A_2} \ge {A_3} \ldots .. \ge {A_n} \ge B.\)

+ Sơ đồ 2: Tạo ra các bất đẳng thức bộ phận:

+ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{A_1} \ge {B_1}}\\

\begin{array}{l}

{A_2} \ge {B_2}\\

………

\end{array}\\

{{A_n} \ge {B_n}}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A \ge B\) (phép cộng các BĐT cũng chiều).

Hoặc:

+ \(\times \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{A_1} \ge {B_1} \ge 0}\\

{{A_2} \ge {B_2} \ge 0}\\

{ \cdots \cdots \cdots }\\

{{A_n} \ge {B_n} \ge 0}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A \ge B\) (phép nhân các BĐT cùng chiều).

Trong cả hai sơ đồ trên thì dấu bằng của BĐT phải chứng minh xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở các BĐT bộ phận phải đồng thời xảy ra.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

+ Chia các số trong dấu căn cho các số chính phương \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\), \(64\), \(81\), \(100\) ….

+ Tách các biểu thức chứa biến thành lũy thừa chẵn.

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

+ Thu gọn các căn thức đồng dạng.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt 8 \), \(\sqrt {20} .\)

b) \(\sqrt {18} \), \(\sqrt {45} .\)

c) \(\sqrt {32} \), \(\sqrt {80} .\)

a) Vì \(8 = 4.2\) nên \(\sqrt 8 = \sqrt {4.2} \) \( = \sqrt 4 .\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\)

\(20 = 4.5\) nên \(\sqrt {20} = \sqrt {4.5} \) \( = \sqrt 4 .\sqrt 5 = 2\sqrt 5 .\)

b) \(\sqrt {18} = \sqrt {9.2} \) \( = \sqrt 9 .\sqrt 2 = 3\sqrt 2 .\)

\(\sqrt {45} = \sqrt {9.5} \) \( = \sqrt 9 .\sqrt 5 = 3\sqrt 5 .\)

c) \(\sqrt {32} = \sqrt {16.2} \) \( = \sqrt {16} .\sqrt 2 = 4\sqrt 2 .\)

\(\sqrt {80} = \sqrt {16.5} \) \( = \sqrt {16} .\sqrt 5 = 4\sqrt 5 .\)

Ví dụ 2: Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt {50a} .\)

b) \(\sqrt {75x} .\)

a) \(\sqrt {50a} = \sqrt {25.2a} = 5\sqrt {2a} .\)

b) \(\sqrt {75x} = \sqrt {25.3x} = 5\sqrt {3x} .\)

Ví dụ 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt {28{x^4}{y^2}} \) với \(y \le 0.\)

b) \(\sqrt {63{a^2}{b^4}} \) với \(a \ge 0.\)

c) \(\sqrt {147{{(a – 1)}^3}} .\)

d) \(\sqrt {192{{(y + 2)}^5}} .\)

a) \(\sqrt {28{x^4}{y^2}} = \sqrt {{{\left( {2{x^2}y} \right)}^2}.7} \) \( = \left| {2{x^2}y} \right|\sqrt 7 = – 2{x^2}y\sqrt 7 \) (vì \(y \le 0\)).

b) \(\sqrt {63{a^2}{b^4}} = \sqrt {{{\left( {3a{b^2}} \right)}^2}.7} \) \( = \left| {3a{b^2}} \right|\sqrt 7 = 3a{b^2}\sqrt 7 \) (vì \(a \ge 0\)).

c) \(\sqrt {147{{(a – 1)}^3}} \) \( = \sqrt {{{\left[ {7(a – 1)} \right]}^2}3(a – 1)} \) \( = 7(a – 1)\sqrt {3(a – 1)} .\)

d) \(\sqrt {192{{(y + 2)}^5}} \) \( = \sqrt {{{\left[ {8{{(y + 2)}^2}} \right]}^2}.3(y + 2)} \) \( = 8{(y + 2)^2}\sqrt {3(y + 2)} .\)

Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:

\(A = 2\sqrt 8 – 3\sqrt {32} + \sqrt {50} .\)

\(B = \sqrt {12} + 4\sqrt {27} – 3\sqrt {48} .\)

\(C = \sqrt {20a} + 4\sqrt {45a} – 2\sqrt {125a} \) với \(a \ge 0.\)

Vì \(2\sqrt 8 = 2\sqrt {4.2} = 4\sqrt 2 \), \(3\sqrt {32} = 3\sqrt {16.2} = 12\sqrt 2 \) và \(\sqrt {50} = \sqrt {25.2} = 5\sqrt 2 \) nên \(A = 4\sqrt 2 – 12\sqrt 2 + 5\sqrt 2 = – 3\sqrt 2 .\)

Vì \(\sqrt {12} = \sqrt {4.3} = 2\sqrt 3 \), \(4\sqrt {27} = 4\sqrt {9.3} = 12\sqrt 3 \) và \(3\sqrt {48} = 3\sqrt {16.3} = 12\sqrt 3 \) nên \(B = 2\sqrt 3 + 12\sqrt 3 – 12\sqrt 3 = 2\sqrt 3 .\)

Vì \(\sqrt {20} = \sqrt {4.5a} = 2\sqrt {5a} \), \(5\sqrt {45a} = 5\sqrt {9.5a} = 15\sqrt {5a} \) và \(2\sqrt {125a} = 2\sqrt {25.5a} = 10\sqrt {5a} \) nên \(C = 2\sqrt {5a} + 15\sqrt {5a} – 10\sqrt {5a} = 7\sqrt {5a} .\)

Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(M = \sqrt {4(x – 1)} – \sqrt {9(x – 1)} – \sqrt {16(x – 1)} \) với \(x \ge 1.\)

b) \(N = \sqrt {25(y + 4)} + \sqrt {36(y + 4)} – 2\sqrt {81(y + 4)} \) với \(y \ge – 4.\)

c) \(P = \sqrt {(y – 2)} – 3\sqrt {64(y – 2)} + 4\sqrt {49(y – 2)} \) với \(y \ge 2.\)

a) \(M = \sqrt {4(x – 1)} – \sqrt {9(x – 1)} – \sqrt {16(x – 1)} \) \( = 2\sqrt {x – 1} – 3\sqrt {x – 1} – 4\sqrt {x – 1} \) \( = – 5\sqrt {x – 1} .\)

b) \(N = \sqrt {25(y + 4)} + \sqrt {36(y + 4)} – 2\sqrt {81(y + 4)} \) \( = 5\sqrt {y + 4} + 6\sqrt {y + 4} – 18\sqrt {y + 4} \) \( = – 7\sqrt {y + 4} .\)

c) \(P = \sqrt {(y – 2)} – 3\sqrt {64(y – 2)} + 4\sqrt {49(y – 2)} \) \( = \sqrt {y – 2} – 24\sqrt {y – 2} + 28\sqrt {y – 2} \) \( = 5\sqrt {y – 2} .\)

Dạng 2. ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN – SẮP THỨ TỰ CÁC CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Viết \(A \ge 0\) thành \(\sqrt {{A^2}} .\)

2. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai.

3. Rút gọn biểu thức trong căn.

4. So sánh các căn bậc hai nhờ định lý:

\(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \) với \(a \ge 0\), \(b \ge 0.\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn:

\(2\sqrt 5 \), \( – 3\sqrt 2 \), \( – \frac{2}{3}\sqrt {ab} \), \(a\sqrt {\frac{3}{a}} \) với \(a /> 0\), \(b \ge 0.\)

Vì \(2 = \sqrt {{2^2}} \) nên \(2\sqrt 5 = \sqrt {{2^2}} .\sqrt 5 \) \( = \sqrt {{2^2}.5} = \sqrt {20} .\)

\(3 = \sqrt {{3^2}} \) nên \( – 3\sqrt 2 = – \sqrt {{3^2}} .\sqrt 2 \) \( = – \sqrt {{3^2}.2} = – \sqrt {18} .\)

\(\frac{2}{3} = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \) nên \( – \frac{2}{3}\sqrt {ab} = – \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} .\sqrt {ab} \) \( = – \sqrt {\frac{{4ab}}{9}} .\)

\(a = \sqrt {{a^2}} \) do \(a /> 0\) nên \(a\sqrt {\frac{3}{a}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {\frac{3}{a}} \) \( = \sqrt {{a^2}.\frac{3}{a}} = \sqrt {3a} .\)

Ví dụ 2: So sánh:

a) \(2\sqrt 3 \) và \(\sqrt {13} .\)

b) \(7\) và \(3\sqrt 5 .\)

c) \(\frac{1}{3}\sqrt {51} \) và \(\frac{1}{5}\sqrt {150} .\)

d) \(\frac{1}{2}\sqrt 6 \) và \(6\sqrt {\frac{1}{2}} .\)

a) Ta có \(2\sqrt 3 = \sqrt {{2^2}.3} \) \( = \sqrt {12} < \sqrt {13} .\)

b) Vì \(7 = \sqrt {49} \) và \(3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} \) \( = \sqrt {45} < \sqrt {49} .\)

Vậy \(3\sqrt 5 < 7.\)

c) Vì \(\frac{1}{3}\sqrt {51} = \sqrt {\frac{{51}}{{{3^2}}}} = \sqrt {\frac{{17}}{3}} \) và \(\frac{1}{5}\sqrt {150} = \sqrt {\frac{{150}}{{{5^2}}}} = \sqrt 6 \) nên:

\(\sqrt 6 /> \sqrt {\frac{{17}}{3}} \) \( \Rightarrow \frac{1}{5}\sqrt {150} /> \frac{1}{3}\sqrt {51} .\)

d) Vì \(\frac{1}{2}\sqrt 6 = \sqrt {\frac{6}{{{2^2}}}} = \sqrt {\frac{3}{2}} \) và \(6\sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{{1.36}}{2}} = \sqrt {18} \) nên:

\(\sqrt {18} /> \sqrt {\frac{3}{2}} \) \( \Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt 6 < 6\sqrt {\frac{1}{2}} .\)

Ví dụ 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a) \(3\sqrt 5 \), \(2\sqrt 6 \), \(\sqrt {29} \), \(4\sqrt 2 .\)

b) \(6\sqrt 2 \), \(\sqrt {38} \), \(3\sqrt 7 \), \(2\sqrt {14} .\)

Đưa một thừa số vào trong dấu căn rồi sắp thứ tự các số trong dấu căn.

a) Ta có \(3\sqrt 5 = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} \), \(2\sqrt 6 = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} \), \(4\sqrt 2 = \sqrt {32} \) nên \(\sqrt {24} < \sqrt {29} < \sqrt {32} < \sqrt {45} .\) Suy ra \(2\sqrt 6 < \sqrt {29} < 4\sqrt 2 < 3\sqrt 5 .\)

b) Ta có \(6\sqrt 2 = \sqrt {{6^2}.2} = \sqrt {72} \), \(3\sqrt 7 = \sqrt {9.7} = \sqrt {63} \), \(2\sqrt {14} = \sqrt {{2^2}.14} = \sqrt {56} \) nên \(\sqrt {38} < \sqrt {56} < \sqrt {63} < \sqrt {72} .\) Suy ra \(\sqrt {38} < 2\sqrt {14} < 3\sqrt 7 < 6\sqrt 2 .\)

Dạng 3. KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI CỦA PHÂN THỨC

I. Phương pháp giải

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Nhân tử và mẫu của phân thức ở trong căn với mẫu số.

Áp dụng quy tắc khai phương một thương.

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi giản ước cho nhân tử chung.

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai của phân thức

Khử mẫu của biểu thức lấy căn.

Thu gọn các căn thức đồng dạng.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) \(\sqrt {\frac{3}{2}} .\)

b) \(\sqrt {\frac{{3a}}{{5b}}} \) với \(a.b /> 0.\)

c) \(\sqrt {\frac{5}{{12}}} .\)

d) \(\sqrt {\frac{{5x}}{{18y}}} \) với \(x.y /> 0.\)

a) \(\sqrt {\frac{3}{2}} = \sqrt {\frac{{3.2}}{{2.2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)

b) \(\sqrt {\frac{{3a}}{{5b}}} = \sqrt {\frac{{3a.5b}}{{5b.5b}}} \) \( = \frac{{\sqrt {15ab} }}{{\sqrt {{{(5b)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {15ab} }}{{5|b|}}.\)

c) \(\sqrt {\frac{5}{{12}}} = \sqrt {\frac{{5.12}}{{12.12}}} = \frac{{\sqrt {60} }}{{\sqrt {{{12}^2}} }}\) \( = \frac{{\sqrt {4.15} }}{{12}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.\)

d) \(\sqrt {\frac{{5x}}{{18y}}} = \sqrt {\frac{{5x.18y}}{{18y.18y}}} \) \( = \frac{{\sqrt {90xy} }}{{\sqrt {{{(18y)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10xy} }}{{18|y|}}\) \( = \frac{{\sqrt {10xy} }}{{6|y|}}.\)

Ví dụ 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) \(\sqrt {\frac{{24}}{5}} .\)

b) \(\sqrt {\frac{3}{{125}}} \) với \(x /> 0.\)

c) \(\sqrt {\frac{3}{{2{x^3}}}} .\)

d) \(\sqrt {\frac{5}{{98{a^3}}}} \) với \(a /> 0.\)

a) \(\sqrt {\frac{{24}}{5}} = \sqrt {\frac{{24.5}}{{5.5}}} = \frac{{\sqrt {4.30} }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{2\sqrt {30} }}{5}.\)

b) \(\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \sqrt {\frac{{3.125}}{{125.125}}} \) \( = \frac{{\sqrt {25.15} }}{{\sqrt {{{125}^2}} }} = \frac{{5\sqrt {15} }}{{125}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}.\)

c) \(\sqrt {\frac{3}{{2{x^3}}}} = \sqrt {\frac{{3.2{x^3}}}{{2{x^3}.2{x^3}}}} \) \( = \frac{{\sqrt {{x^2}.6x} }}{{\sqrt {{{\left( {2{x^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{x\sqrt {6x} }}{{2{x^3}}} = \frac{{\sqrt {6x} }}{{2{x^2}}}\) (vì \(x /> 0\)).

d) \(\sqrt {\frac{5}{{98{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{5.98{a^3}}}{{98{a^3}.98{a^3}}}} \) \( = \frac{{\sqrt {49{a^2}.10a} }}{{\sqrt {{{\left( {98{a^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{7a\sqrt {10a} }}{{98{a^3}}}\) \( = \frac{{\sqrt {10a} }}{{14{a^2}}}.\) (vì \(a /> 0\)).

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:

a) \(M = 5\sqrt {\frac{1}{5}} + \frac{5}{2}\sqrt {\frac{4}{5}} – 3\sqrt 5 .\)

b) \(N = 3\sqrt {\frac{1}{2}} + \sqrt {4,5} – \sqrt {12,5} .\)

c) \(P = \sqrt {\frac{1}{3}} + \sqrt {1\frac{1}{5}} + 4\sqrt 3 .\)

d) \(Q = 2\sqrt a – a\sqrt {\frac{4}{a}} + {a^2}\sqrt {\frac{9}{{{a^3}}}} .\)

a) Vì:

\(\sqrt {\frac{1}{5}} = \sqrt {\frac{{1.5}}{{5.5}}} \) \( = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

\(\sqrt {\frac{4}{5}} = \sqrt {\frac{{4.5}}{{5.5}}} \) \( = \frac{{\sqrt {4.5} }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)

Nên: \(M = 5.\frac{{\sqrt 5 }}{5} + \frac{5}{2}.\frac{{2\sqrt 5 }}{5} – 3\sqrt 5 \) \( = \sqrt 5 + \sqrt 5 – 3\sqrt 5 \) \( = – \sqrt 5 .\)

b) Vì:

\(\sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{{1.2}}{{2.2}}} \) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

\(\sqrt {4,5} = \sqrt {\frac{9}{2}} \) \( = \frac{{\sqrt {9.2} }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)

\(\sqrt {12,5} = \sqrt {\frac{{25}}{2}} \) \( = \frac{{\sqrt {25.2} }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}.\)

Nên: \(N = 3.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} – \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

c) Vì:

\(\sqrt {\frac{1}{3}} = \sqrt {\frac{{1.3}}{{3.3}}} \) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

\(\sqrt {1\frac{1}{3}} = \sqrt {\frac{{4.3}}{{3.3}}} \) \( = \frac{{\sqrt {4.3} }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)

Nên:

\(P = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 4\sqrt 3 \) \( = \sqrt 3 \left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 4} \right)\) \( = 5\sqrt 3 .\)

d) Vì:

\(\sqrt {\frac{4}{a}} = \sqrt {\frac{{4.a}}{{a.a}}} \) \( = \frac{{\sqrt {4a} }}{{\sqrt {{a^2}} }} = \frac{{2\sqrt a }}{a}.\)

\(\sqrt {\frac{{9a}}{{{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{9.a}}{{{a^3}.a}}} \) \( = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt a }}{{{a^2}}}.\)

Nên: \(Q = 2\sqrt a – a.\frac{{2\sqrt a }}{a} + {a^2}.\frac{{3\sqrt a }}{{{a^2}}}\) \( = 2\sqrt a – 2\sqrt a + 3\sqrt a \) \( = 3\sqrt a .\)

Dạng 4. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU SỐ – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Ở MẪU SỐ

I. Phương pháp giải

1. Trục căn thức ở mẫu số

Xác định biểu thức liên hợp.

Nhân liên hợp để khai căn.

Giản ước, thu gọn (nếu được).

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu.

Thu gọn các căn thức đồng dạng.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu:

a) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

b) \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}.\)

c) \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}.\)

d) \(\frac{4}{{\sqrt 6 }}.\)

e) \(\frac{5}{{\sqrt {20} }}.\)

f) \(\frac{6}{{\sqrt 8 }}.\)

a) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{1.\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }}\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

b) \(\frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2.\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}\) \( = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)

c) \(\frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3.\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }}\) \( = \frac{{3\sqrt 5 }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.\)

d) \(\frac{4}{{\sqrt 6 }} = \frac{{4.\sqrt 6 }}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }}\) \( = \frac{{4\sqrt 6 }}{{\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{6} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.\)

e) Vì \(\sqrt {20} \) liên hợp với \(\sqrt 5 \) (do \(\sqrt {20} .\sqrt 5 = \sqrt {100} \) \( = \sqrt {{{10}^2}} = 10\)) nên: \(\frac{5}{{\sqrt {20} }} =