căn bậc hai của một biểu thức

Bài viết trình bày các kiến thức cần nhớ và hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán thường gặp về chủ đề căn bậc hai của một biểu thức trong chương trình Đại số lớp 9.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn thức bậc hai

1. Định nghĩa: Với \(A\) là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của \(A\), còn \(A\) gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

2. Điều kiện xác định (hay có nghĩa) của một căn thức bậc hai.

\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa \( \Leftrightarrow A \ge 0.\)

3. Muốn khai căn một biểu thức thường dùng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|.\)

II. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: \(\left| A \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{A{\rm{\:nếu\:}}A \ge 0}\\

{ – A{\rm{\:nếu\:}}A < 0}

\end{array}} \right..\)

Hệ quả:

a) Hằng bất đẳng thức: \(\left| A \right| \ge 0\) với mọi \(A.\)

b) \(|A| = | – A|.\)

c) \(|A| = |B| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{A = B}\\

{A = – B}

\end{array}} \right..\)

d) \(|A| = A \Leftrightarrow A \ge 0\), \(|A| = – A \Leftrightarrow A \le 0.\)

Khái niệm giá trị tuyệt đối thường được dùng để rút gọn một biểu thức, giải một phương trình hay bất phương trình, hoặc vẽ đồ thị một hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

III. Nhắc lại về dấu của một tích, dấu của một thương

1. \(a.b \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \ge 0}\\

{b \ge 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \le 0}\\

{b \le 0}

\end{array}} \right..\)

2. \(a.b \le 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \ge 0}\\

{b \le 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \le 0}\\

{b \ge 0}

\end{array}} \right..\)

3. \(\frac{a}{b} \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \ge 0}\\

{b /> 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \le 0}\\

{b < 0}

\end{array}} \right..\)

4. \(\frac{a}{b} \le 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \ge 0}\\

{b < 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \le 0}\\

{b /> 0}

\end{array}} \right..\)

5. \(\frac{1}{a} /> 0\) \( \Leftrightarrow a /> 0.\)

IV. Bổ sung kiến thức: Căn thức đồng dạng

1. Hai căn thức bậc hai gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ:

a) Các biểu thức \(\sqrt 5 \), \(2\sqrt 5 \), \( – 3\sqrt 5 \) được gọi là đồng dạng với nhau.

b) Các biểu thức \(\frac{1}{2}\sqrt a \), \(4\sqrt a \), \( – \frac{2}{5}\sqrt a \) \((a \ge 0)\) được gọi là đồng dạng với nhau.

2. Cộng trừ các căn thức bậc hai:

Muốn cộng trừ các căn thức bậc hai ta thu gọn các căn thức đồng dạng.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT CĂN THỨC BẬC HAI XÁC ĐỊNH.

I. Phương pháp giải

1. \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) \( \Leftrightarrow A \ge 0.\)

2. Giải bất phương trình \(A \ge 0.\)

3. Kết luận.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

a) \(\sqrt {3x} .\)

b) \(\sqrt {5 – 2x} .\)

c) \(\sqrt { – x} .\)

d) \(\sqrt { – {x^2}} .\)

a) Vì \(\sqrt {3x} \) là căn thức bậc hai của \(3x\), nên \(\sqrt {3x} \) xác định:

\( \Leftrightarrow 3x \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \ge 0.\)

Vậy \(x \ge 0\) là điều kiện cần tìm.

b) Vì \(\sqrt {5 – 2x} \) là căn thức bậc hai của \(5 – 2x\), nên \(\sqrt {5 – 2x} \) xác định:

\( \Leftrightarrow 5 – 2x \ge 0\) \( \Leftrightarrow 5 \ge 2x\) \( \Leftrightarrow \frac{5}{2} \ge x.\)

Vậy \(x \le \frac{5}{2}\) là điều kiện cần tìm.

c) \(\sqrt { – x} \) là căn thức bậc hai của \( – x\), nên \(\sqrt { – x} \) xác định:

\( \Leftrightarrow – x \ge 0\) \( \Leftrightarrow 0 \ge x.\)

Vậy \(x \le 0\) là điều kiện cần tìm.

d) \(\sqrt { – {x^2}} \) là căn thức bậc hai của \( – {x^2}\) nên \(\sqrt { – {x^2}} \) xác định:

\( \Leftrightarrow – {x^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow 0 \ge {x^2}\) \( \Leftrightarrow 0 \le x \le 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(x = 0\) là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Với giá trị nào của \(a\) thì mỗi căn thức sau có nghĩa?

a) \(\sqrt {\frac{a}{2}} .\)

b) \(\sqrt { – 4a} .\)

c) \(\sqrt {3a + 2} .\)

d) \(\sqrt {5 – a} .\)

a) \(\sqrt {\frac{a}{2}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \frac{a}{2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow a \ge 0.\)

Vậy \(a \ge 0\) là giá trị cần tìm.

b) \(\sqrt { – 4a} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow – 4a \ge 0\) \( \Leftrightarrow 0 \ge 4a\) \( \Leftrightarrow 0 \ge a.\)

Vậy \(a \le 0\) là giá trị cần tìm.

c) \(\sqrt {3a + 2} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow 3a + 2 \ge 0\) \( \Leftrightarrow 3a \ge – 2\) \( \Leftrightarrow a \ge \frac{{ – 2}}{3}.\)

Vậy \(a \ge \frac{{ – 2}}{3}\) là giá trị cần tìm.

d) \(\sqrt {5 – a} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow 5 – a \ge 0\) \( \Leftrightarrow 5 \ge a.\)

Vậy \(a \le 5\) là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Tìm \(x\) để các căn thức sau có nghĩa:

a) \(\sqrt {\frac{1}{{x – 1}}} .\)

b) \(\sqrt {\frac{{ – 2}}{{x + 3}}} .\)

c) \(\sqrt {{x^2}} .\)

d) \(\sqrt { – 4{x^2}} .\)

a) \(\sqrt {\frac{1}{{x – 1}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \frac{1}{{x – 1}} \ge 0\) \( \Leftrightarrow x – 1 /> 0\) \( \Leftrightarrow x /> 1.\)

Vậy \(x /> 1\) là giá trị cần tìm.

b) \(\sqrt {\frac{{ – 2}}{{x + 3}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \frac{{ – 2}}{{x + 3}} \ge 0\) \( \Leftrightarrow x + 3 < 0\) \( \Leftrightarrow x < – 3.\)

Vậy \(x <-3\) là giá trị cần tìm.

c) \(\sqrt {{x^2}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} \ge 0\) (đúng với mọi \(x\)).

Vậy \(x \in R\) là giá trị cần tìm.

d) \(\sqrt { – 4{x^2}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow – 4{x^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow 0 \le {x^2} \le 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(x = 0\) là giá trị duy nhất cần tìm.

Ví dụ 4: Tìm \(x\) để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} .\)

b) \(\sqrt {{x^2} – 4} .\)

c) \(\sqrt {1 – {x^2}} .\)

d) \(\sqrt {\frac{{x – 2}}{{x + 3}}} .\)

a) \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) \ge 0.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 1 \ge 0}\\

{x – 3 \ge 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 1 \le 0}\\

{x – 3 \le 0}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 1}\\

{x \ge 3}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \le 1}\\

{x \le 3}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow x \le 1\) hoặc \(x \ge 3.\)

Vậy \(x \le 1\) hoặc \(x \ge 3\) là các giá trị cần tìm.

b) \(\sqrt {{x^2} – 4} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge 0\) \( \Leftrightarrow (x – 2)(x + 2) \ge 0.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 2 \ge 0}\\

{x + 2 \ge 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 2 \le 0}\\

{x + 2 \le 0}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 2}\\

{x \ge – 2}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \le 2}\\

{x \le – 2}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow x \le – 2\) hoặc \(x \ge 2.\)

Vậy \(x \le – 2\) hoặc \(x \ge 2\) là giá trị cần tìm.

c) \(\sqrt {1 – {x^2}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow 1 – {x^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow (1 – x)(1 + x) \ge 0.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{1 – x \ge 0}\\

{1 + x \ge 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{1 – x \le 0}\\

{1 + x \le 0}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}

{ – 1 \le x}\\

{x \le 1}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{1 \le x}\\

{x \le – 1}

\end{array}} \right.\) (loại).

\( \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1.\)

Vậy \( – 1 \le x \le 1\) là giá trị cần tìm.

d) \(\sqrt {\frac{{x – 2}}{{x + 3}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \frac{{x – 2}}{{x + 3}} \ge 0.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 2 \ge 0}\\

{x + 3 /> 0}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 2 \le 0}\\

{x + 3 < 0}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 2}\\

{x /> – 3}

\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \le 2}\\

{x < – 3}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow x \ge 2\) hoặc \(x < – 3.\)

Vậy \(x \ge 2\) hoặc \(x < – 3\) là các giá trị cần tìm.

III. Bài tập

1. Tìm \(x\) để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) \(\sqrt {3x – 1} .\)

b) \(\sqrt {4 – 2x} .\)

c) \(\sqrt {{x^2} + 1} .\)

d) \(\sqrt {\frac{4}{{2x – 1}}} .\)

e) \(\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} .\)

f) \(\sqrt {4{x^2} – 1} .\)

2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

a) \(A = \sqrt x + \sqrt {x – 1} .\)

b) \(B = \sqrt {x – 2} – \sqrt {x – 3} .\)

c) \(C = \sqrt {(x – 2)(x + 3)} .\)

d) \(D = \sqrt {\frac{{2x – 3}}{{x – 1}}} .\)

DẠNG 2. KHAI CĂN MỘT BIỂU THỨC – TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC CHỨA CĂN.

I. Phương pháp giải

1. Khai căn nhờ hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = |A|.\)

2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối nhờ tính chất:

\(|A| = A \Leftrightarrow A \ge 0\), \(|A| = – A \Leftrightarrow A \le 0.\)

3. Thu gọn.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tính:

a) \(\sqrt {{{11}^2}} .\)

b) \(\sqrt {{{( – 5)}^2}} .\)

c) \(\sqrt {{{(0,4)}^2}} .\)

d) \( – \sqrt {{{( – 1,2)}^2}} .\)

e) \( – 0,3\sqrt {{{( – 1,4)}^2}} .\)

f) \(\sqrt {\sqrt {16} } .\)

a) \(\sqrt {{{11}^2}} = |11| = 11.\)

b) \(\sqrt {{{( – 5)}^2}} = | – 5| = 5.\)

c) \(\sqrt {{{(0,4)}^2}} = |0,4| = 0,4.\)

d) \( – \sqrt {{{( – 1,2)}^2}} = – | – 1,2| = – 1,2.\)

e) \( – 0,3\sqrt {{{( – 1,4)}^2}} \) \( = – 0,3| – 1,4|\) \( = – 0,3.1,4 = – 0,42.\)

f) Vì \(\sqrt {16} = \sqrt {{4^2}} = |4| = 4\) nên \(\sqrt {\sqrt {16} } = \sqrt 4 = 2.\)

Ví dụ 2: Tính:

a) \(A = \sqrt {16} .\sqrt {25} + \sqrt {196} :\sqrt {49} .\)

b) \(B = 36:\sqrt {{{2.3}^2}.18} – 2\sqrt {169} .\)

c) \(C = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} .\)

a) Vì \(\sqrt {16} = \sqrt {{4^2}} = |4| = 4\), \(\sqrt {25} = \sqrt {{5^2}} = |5| = 5\), \(\sqrt {196} = \sqrt {{{14}^2}} = |14| = 14\) và \(\sqrt {49} = \sqrt {{7^2}} = |7| = 7\) nên \(A = 4.5 + 14:7 = 20 + 2 = 22.\)

b) Ta có: \(\sqrt {{{2.3}^2}.18} = \sqrt {{{18}^2}} = |18| = 18\), \(\sqrt {169} = \sqrt {{{13}^2}} = |13| = 13\) nên \(B = 36:18 – 2.13 = 2 – 26 = – 24.\)

c) \(C = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = \sqrt {169} = \sqrt {{{13}^2}} = 13.\)

Ví dụ 3: Tính:

a) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} .\)

b) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 2} \right)}^2}} .\)

c) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}^2}} .\)

a) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt 2 – 1} \right|\) \( = \sqrt 2 – 1\) (vì \(\sqrt 2 /> 1\)).

b) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 2} \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt 3 – 2} \right|\) \( = 2 – \sqrt 3 \) (vì \(\sqrt 3 < 2\)).

c) \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt 5 – 2} \right|\) \( = \sqrt 5 – 2\) (vì \(\sqrt 5 /> 2\)).

Ví dụ 4: Tính:

a) \(\sqrt {{{(x – 1)}^2}} \) với \(x \ge 1.\)

b) \(\sqrt {{a^6}} \) với \(a < 0.\)

c) \(\sqrt {{{(x – 2)}^2}} \) với \(x < 2.\)

d) \(\sqrt {{a^4}} .\)

a) \(\sqrt {{{(x – 1)}^2}} = |x – 1| = x – 1\) (vì \(x \ge 1 \Leftrightarrow x – 1 \ge 0\)).

b) \(\sqrt {{a^6}} = \sqrt {{{\left( {{a^3}} \right)}^2}} = \left| {{a^3}} \right| = – {a^3}\) (vì \(a < 0 \Leftrightarrow {a^3} < 0\)).

c) \(\sqrt {{{(x – 2)}^2}} = |x – 2| = – x + 2\) (vì \(x < 2 \Leftrightarrow x – 2 < 0\)).

d) \(\sqrt {{a^4}} = \sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} = \left| {{a^2}} \right| = {a^2}\) (vì \({a^2} \ge 0\) với mọi \(a\)).

III. Bài tập

1. Tính:

a) \(2\sqrt {{{( – 3)}^6}} + 3\sqrt {{{( – 2)}^4}} .\)

b) \( – 4\sqrt {{{( – 3)}^6}} + \sqrt {\sqrt {{{( – 2)}^8}} } .\)

c) \(\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} .\)

2. Tính:

a) \(M = \sqrt {{{( – 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} – \sqrt {{{( – 3)}^2}} .\)

b) \(N = 3\sqrt {{{( – 0,2)}^2}} – {(\sqrt 2 )^2} + 3\sqrt {{{( – 3)}^2}} .\)

c) \(P = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\sqrt {{{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^2}} – 3\sqrt {{{\left( { – \frac{1}{3}} \right)}^2}} .\)

DẠNG 3. PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ.

I. Phương pháp giải

1. Viết \(A \ge 0\) thành \({\left( {\sqrt A } \right)^2}.\)

2. Sử dụng \({A^2} – {B^2} = (A – B)(A + B).\)

3. Sử dụng \({A^2} + {B^2} \pm 2AB = {(A \pm B)^2}.\)

4. Thêm, bớt tạo thành hằng đẳng thức.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử.

a) \({x^2} – 1.\)

b) \({x^2} – 2.\)

c) \({x^2} – 3.\)

d) \({x^2} – 4.\)

a) \({x^2} – 1\) \( = {x^2} – {1^2}\) \( = (x – 1)(x + 1).\)

b) Vì \(2 = {(\sqrt 2 )^2}\) nên \({x^2} – 2\) \( = {x^2} – {(\sqrt 2 )^2}\) \( = (x – \sqrt 2 )(x + \sqrt 2 ).\)

c) Vì \(3 = {(\sqrt 3 )^2}\) nên \({x^2} – 3\) \( = {x^2} – {(\sqrt 3 )^2}\) \( = (x – \sqrt 3 )(x + \sqrt 3 ).\)

d) \({x^2} – 4\) \( = {x^2} – {2^2}\) \( = (x – 2)(x + 2).\)

Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử.

a) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 2.\)

b) \({x^2} – 2\sqrt 3 x + 3.\)

c) \(x + 2\sqrt x + 1.\)

d) \(x – 4\sqrt x + 4.\)

a) Vì \(2 = {(\sqrt 2 )^2}\) nên \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 2\) \( = {x^2} + 2\sqrt 2 x + {(\sqrt 2 )^2}\) \( = {(x + \sqrt 2 )^2}.\)

b) Vì \(3 = {(\sqrt 3 )^2}\) nên \({x^2} – 2\sqrt 3 x + 3\) \( = {x^2} – 2\sqrt 3 x + {(\sqrt 3 )^2}\) \( = {(x – \sqrt 3 )^2}.\)

c) Vì \(x = {(\sqrt x )^2}\) nên \(x + 2\sqrt x + 1\) \( = {(\sqrt x )^2} + 2\sqrt x + 1\) \( = {(\sqrt x + 1)^2}.\)

d) Vì \(x = {(\sqrt x )^2}\) nên \(x – 4\sqrt x + 4\) \( = {(\sqrt x )^2} – 2.2\sqrt x + {2^2}\) \( = {(\sqrt x – 2)^2}.\)

Ví dụ 3: Cho các biểu thức \(P = x + 2\sqrt {x – 1} \) và \(Q = x – 2\sqrt {x – 1} .\)

a) Hãy phân tích \(P\) và \(Q\) thành nhân tử.

b) Thay \(x\) lần lượt bằng \(3\), \(4\) vào \(P\), \(Q\) để được một bình phương.

a) Vì \({(\sqrt {x – 1} )^2} = x – 1\) nên:

\(P = x – 1 + 2\sqrt {x – 1} + 1\) \( = {(\sqrt {x – 1} )^2} + 2\sqrt {x – 1} + 1\) \( = {(\sqrt {x – 1} + 1)^2}.\)

Vậy \(P = {(\sqrt {x – 1} + 1)^2}.\)

Tương tự:

\(Q = x – 1 – 2\sqrt {x – 1} + 1\) \( = {(\sqrt {x – 1} )^2} – 2\sqrt {x – 1} + 1\) \( = {(\sqrt {x – 1} – 1)^2}.\)

Vậy \(Q = {(\sqrt {x – 1} – 1)^2}.\)

b) Với \(x = 3\) thì:

\(P = 3 + 2\sqrt 2 \) \( = {(\sqrt 2 )^2} + 2\sqrt 2 + {1^2}\) \( = {(\sqrt 2 + 1)^2}.\)

\(Q = 3 – 2\sqrt 2 \) \( = {(\sqrt 2 )^2} – 2\sqrt 2 + {1^2}\) \( = {(\sqrt 2 – 1)^2}.\)

Với \(x = 4\) thì:

\(P = 4 + 2\sqrt 3 \) \( = {(\sqrt 3 )^2} + 2\sqrt 3 + {1^2}\) \( = {(\sqrt 3 + 1)^2}.\)

\(Q = 4 – 2\sqrt 3 \) \( = {(\sqrt 3 )^2} – 2\sqrt 3 + {1^2}\) \( = {(\sqrt 3 – 1)^2}.\)

III. Bài tập

1. Phân tích thành nhân tử.

a) \({x^2} – 7.\)

b) \(4{x^2} – 5.\)

c) \(3{x^2} – 1.\)

d) \(x – 1\) với \(x \ge 0.\)

e) \(x – 4\) với \(x \ge 0.\)

f) \(9x – 4\) với \(x \ge 0.\)

2. Phân tích thành nhân tử.

a) \(11 + 2\sqrt {10} .\)

b) \(12 – 2\sqrt {11} .\)

c) \(23 + 2\sqrt {22} .\)

3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử với \(a <0.\)

a) \(a + 3.\)

b) \(4a + 1.\)

c) \(2a + 3.\)

DẠNG 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN.

I. Phương pháp giải

1. Rút gọn đồng nghĩa với thu gọn.

+ Bước 1: Khai căn một biểu thức.

+ Bước 2: Thu gọn.

2. Rút gọn đồng nghĩa với giản ước.

+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử hoặc khai căn một biểu thức.

+ Bước 2: Giản ước cho nhân tử chung.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(M = 3\sqrt {{a^2}} – 5a\) với \(a < 0.\)

b) \(N = \sqrt {4{a^2}} + 3a\) với \(a \ge 0.\)

c) \(P = \sqrt {9{a^4}} + {a^2}.\)

d) \(Q = 3\sqrt {4{a^6}} – 3{a^3}\) với \(a < 0.\)

a) Vì \(\sqrt {{a^2}} = |a| = – a\) (do \(a < 0\)) nên \(M = 3( – a) – 5a = – 8a.\)

b) Vì \(\sqrt {4{a^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2}} = |2a| = 2a\) (do \(a \ge 0\)) nên \(N = 2a + 3a = 5a.\)

c) Vì \(\sqrt {9{a^4}} = \sqrt {{{\left( {3{a^2}} \right)}^2}} = \left| {3{a^2}} \right| = 3{a^2}\) (do \(3{a^2} \ge 0\) với mọi \(a\)) nên \(P = 3{a^2} + {a^2} = 4{a^2}.\)

d) Vì \(\sqrt {4{a^6}} = \sqrt {{{\left( {2{a^3}} \right)}^2}} = \left| {2{a^3}} \right| = – 2{a^3}\) (do \(a < 0\)) nên \(Q = 3\left( { – 2{a^3}} \right) – 3{a^3} = – 9{a^3}.\)

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } – \sqrt 3 .\)

b) \(B = 2\sqrt 5 – \sqrt {6 – 2\sqrt 5 } .\)

c) \(C = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } .\)

d) \(D = \sqrt {7 – 2\sqrt 6 } – \sqrt {7 + 2\sqrt 6 } .\)

a) Vì \(\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} \) \( = |\sqrt 3 – 1| = \sqrt 3 – 1\) (do \(\sqrt 3 /> 1\)) nên:

\(A = \sqrt 3 – 1 – \sqrt 3 = – 1.\)

b) Vì \(\sqrt {6 – 2\sqrt 5 } = \sqrt {{{(\sqrt 5 – 1)}^2}} \) \( = |\sqrt 5 – 1| = \sqrt 5 – 1\) (do \(\sqrt 5 /> 1\)) nên:

\(B = 2\sqrt 5 – (\sqrt 5 – 1)\) \( = 2\sqrt 5 – \sqrt 5 + 1\) \( = \sqrt 5 + 1.\)

c) Ta có:

\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} \) \( = |\sqrt 3 + 1| = \sqrt 3 + 1.\)

\(\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} \) \( = |\sqrt 3 – 1| = \sqrt 3 – 1\) (do \(\sqrt 3 /> 1\)).

Nên: \({\rm{C}} = \sqrt 3 + 1 + \sqrt 3 – 1 = 2\sqrt 3 .\)

d) Ta có:

\(\sqrt {7 – 2\sqrt 6 } = \sqrt {{{(\sqrt 6 – 1)}^2}} \) \( = |\sqrt 6 – 1| = \sqrt 6 – 1\) (do \(\sqrt 6 /> 1\)).

\(\sqrt {7 + 2\sqrt 6 } = \sqrt {{{(\sqrt 6 + 1)}^2}} \) \( = |\sqrt 6 + 1| = \sqrt 6 + 1.\)

Do đó: \(D = \sqrt 6 – 1 – \sqrt 6 – 1 = – 2.\)

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức:

a) \(M = \sqrt {9{x^2}} – 2x\) với \(x \ge 0.\)

b) \(N = x – 2 – \sqrt {4 – 4x + {x^2}} \) với \(x /> 2.\)

c) \(P = \sqrt {25{x^2}} + 3x\) với \(x < 0.\)

d) \(Q = 3 – x + \sqrt {{x^2} + 6x + 9} \) với \(x/>-3\)

a) Vì \(\sqrt {9{x^2}} = \sqrt {{{(3x)}^2}} = |3x| = 3x\) (do \(x \ge 0\)) nên \(M = 3x – 2x = x.\)

b) Vì \(\sqrt {4 – 4x + {x^2}} \) \( = \sqrt {{{(x – 2)}^2}} \) \( = |x – 2|\) \( = x – 2\) (do \(x /> 2\)) nên \(N = x – 2 – (x – 2) = 0.\)

c) Vì \(\sqrt {25{x^2}} = \sqrt {{{(5x)}^2}} \) \( = |5x| = – 5x\) (do \(x < 0\)) nên \(P = – 5x + 2x = – 3x.\)

d) Vì \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} \) \( = \sqrt {{{(3 + x)}^2}} \) \( = |3 + x|\) \( = 3 + x\) (do \(x /> – 3 \Leftrightarrow x + 3 /> 0\)) nên \(Q = 3 – x + x + 3 = 6.\)

Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{{x^2} – 3}}{{x + \sqrt 3 }}.\)

b) \(B = \frac{{\sqrt x – 2}}{{x – 4}}.\)

c) \(C = \frac{{{x^2} – 2\sqrt 2 x + 2}}{{{x^2} – 2}}.\)

d) \(D = \frac{{x + \sqrt 5 }}{{{x^2} + 2\sqrt 5 x + 5}}.\)

a) Phân tích tử thành nhân tử:

\({x^2} – 3\) \( = {x^2} – {(\sqrt 3 )^2}\) \( = (x – \sqrt 3 )(x + \sqrt 3 ).\)

Ta được: \(A = \frac{{(x – \sqrt 3 )(x + \sqrt 3 )}}{{1.(x + \sqrt 3 )}}\) \( = x – \sqrt 3 .\)

b) Phân tích mẫu thành nhân tử:

\(x – 4 = {(\sqrt x )^2} – {2^2}\) \( = (\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2).\)

Ta được: \(B = \frac{{1.(\sqrt x – 2)}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}}\) \( = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}.\)

c) Phân tích tử thành nhân tử:

\({x^2} – 2\sqrt 2 x + 2\) \( = {x^2} – 2\sqrt 2 x + {(\sqrt 2 )^2}\) \( = {(x – \sqrt 2 )^2}.\)

Ta được: \(C = \frac{{{{(x – \sqrt 2 )}^2}}}{{1.(x – \sqrt 2 )(x + \sqrt 2 )}}\) \( = \frac{{x – \sqrt 2 }}{{x + \sqrt 2 }}.\)

d) Phân tích mẫu thành nhân tử:

\({x^2} + 2\sqrt 5 x + 5\) \( = {x^2} + 2\sqrt 5 x + {(\sqrt 5 )^2}\) \( = {(x + \sqrt 5 )^2}.\)

Ta được: \(D = \frac{{1.(x + \sqrt 5 )}}{{{{(x + \sqrt 5 )}^2}}}\) \( = \frac{1}{{x + \sqrt 5 }}.\)

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức.

a) \(M = \frac{{\sqrt {{x^2} – 2x + 1} }}{{x – 1}}\) với \(x /> 1.\)

b) \(N = \frac{{2(x + 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}\) với \(x < – 2.\)

c) \(P = \frac{{3\sqrt {1 – 4x + 4{x^2}} }}{{2x – 1}}\) với \(x /> \frac{1}{2}.\)

d) \(Q = \frac{{4(3x – 1)}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}\) với \(x < \frac{1}{3}.\)

a) Khai căn tử thức: \(\sqrt {{x^2} – 2x + 1} \) \( = \sqrt {{{(x – 1)}^2}} \) \( = |x – 1|\) \( = x – 1\) (vì \(x /> 1\)) nên \(M = \frac{{x – 1}}{{x – 1}} = 1.\)

b) Khai căn mẫu thức: \(\sqrt {{x^2} + 4x + 4} \) \( = \sqrt {{{(x + 2)}^2}} \) \( = |x + 2|\) \( = – (x + 2)\) (vì \(x < 2\)) nên \(N = \frac{{2(x + 2)}}{{ – (x + 2)}} = – 2.\)

c) Khai căn tử thức: \(\sqrt {1 – 4x + {x^2}} \) \( = \sqrt {{{(2x – 1)}^2}} \) \( = |2x – 1|\) \( = 2x – 1\) (vì \(x /> \frac{1}{2}\)) nên \(P = \frac{{3(2x – 1)}}{{1.(2x – 1)}} = 3.\)

d) Khai căn mẫu thức: \(\sqrt {9{x^2} – 6x + 1} \) \( = \sqrt {{{(3x – 1)}^2}} \) \( = |3x – 1|\) \( = – 3(x – 1)\) (vì \(x < \frac{1}{3}\)) nên \(Q = \frac{{4(3x – 1)}}{{ – (3x – 1)}} = – 4.\)

III. Bài tập

Hãy rút gọn các biểu thức trong các bài tập sau đây:

1.

a) \(M = \sqrt {16{a^2}} – 5a\) với \(a \ge 0.\)

b) \(N = \sqrt {25{b^2}} + 3b\) với \(b \le 0.\)

c) \(P = \sqrt {{x^2} – 10x + 25} – x\) với \(x \ge 5.\)

d) \(Q = 3x + 2 – \sqrt {9{x^2} + 6x + 1} \) với \(x /> \frac{1}{3}.\)

2.

a) \(A = \sqrt {8 + 2\sqrt 7 } – \sqrt 7 .\)

b) \(\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } – 2\sqrt 3 .\)

c) \(C = \sqrt {14 – 2\sqrt {13} } + \sqrt {14 + 2\sqrt {13} } .\)

d) \(D = \sqrt {22 – 2\sqrt {21} } – \sqrt {22 + 2\sqrt {21} } .\)

3.

a) \(M = |x – 1| – |1 – 2x|\) với \(x < \frac{1}{2}.\)

b) \(N = 2x – \sqrt {4{x^2} – 4x + 1} \) với \(x /> \frac{1}{2}.\)

c) \(P = \sqrt {{x^2} + 4x + 4} + \sqrt {{x^2}} \) với \(x \ge 0.\)

d) \(Q = \sqrt {x + 2\sqrt {x – 1} } – \sqrt {x – 1} + 4\) với \(x \ge 1.\)

4.

a) \(A = |x – 2| + \frac{{\sqrt {{x^2} – 4x + 4} }}{{x – 2}}\) với \(x /> 2.\)

b) \(B = |4 – x| + \frac{{4 – x}}{{\sqrt {{x^2} – 8x + 16} }}\) với \(x < 4.\)

c) \(C = |x – 3| – \frac{{3 – x}}{{\sqrt {9 – 6x + {x^2}} }}\) với \(x < 3.\)

DẠNG 5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.

I. Phương pháp giải

1. Khai căn một biểu thức.

2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm \(x\) biết:

a) \(\sqrt {{x^2}} = 3.\)

b) \(\sqrt {{x^2}} = | – 4|.\)

c) \(\sqrt {4{x^2}} = 6.\)

d) \(\sqrt {9{x^2}} = | – 12|.\)

a) Vì \(\sqrt {{x^2}} = |x|\) và \(3 = |3|\) nên \(\sqrt {{x^2}} = 3\) \( \Leftrightarrow |x| = |3|\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 3}\\

{x = – 3}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(x = 3\) và \(x = -3\) là hai giá trị cần tìm.

b) Vì \(\sqrt {{x^2}} = |x|\) và \(| – 4| = |4|\) nên \(\sqrt {{x^2}} = | – 4|\) \( \Leftrightarrow |x| = |4|\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{x = – 4}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(x = 4\) và \(x = -4\) là hai giá trị cần tìm.

c) Vì \(\sqrt {4{x^2}} = \sqrt {{{(2x)}^2}} = |2x|\) và \(6 = |6|\) nên:

\(\sqrt {4{x^2}} = 6\) \( \Leftrightarrow |2x| = |6|\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2x = 6}\\

{2x = – 6}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 3}\\

{x = – 3}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(x = 3\) và \(x = -3\) là hai giá trị cần tìm.

d) Vì \(\sqrt {9{x^2}} = \sqrt {{{(3x)}^2}} = |3x|\) và \(| – 12| = |12|\) nên:

\(\sqrt {9{x^2}} = | – 12|\) \( \Leftrightarrow |3x| = |12|\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x = 12}\\

{3x = – 12}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{x = – 4}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(x = 4\) và \(x = -4\) là hai giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) \({x^2} – 2\sqrt 3 x + 3 = 0.\)

b) \({x^2} + 2\sqrt {11} x + 11 = 0.\)

c) \(\sqrt {{x^4}} = 3.\)

d) \(\sqrt {\sqrt {{x^4}} } = 5.\)

a) Ta có: \({x^2} – 2\sqrt 3 x + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {(x – \sqrt 3 )^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x – \sqrt 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .\)

Vậy \(S = \{ \sqrt 3 \} .\)

b) Ta có: \({x^2} – 2\sqrt {11} x + 11 = 0\) \( \Leftrightarrow {(x – \sqrt {11} )^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x – \sqrt {11} = 0\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt {11} .\)

Vậy \(S = \{ \sqrt {11} \} .\)

c) Ta có: \(\sqrt {{x^4}} = \sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} = {x^2}\) nên \(\sqrt {{x^4}} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 3.\)

Vì \(3 /> 0\) nên có hai căn bậc hai là \(\sqrt 3 \) và \( – \sqrt 3 .\)

Do đó: \({x^2} = 3\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \sqrt 3 }\\

{x = – \sqrt 3 }

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \{ \sqrt 3 ; – \sqrt 3 \} .\)

d) Vì \(\sqrt {{x^4}} = {x^2}\) nên \(\sqrt {\sqrt {{x^4}} } = \sqrt {{x^2}} = |x|.\)

Do đó: \(\sqrt {\sqrt {{x^4}} } = 5\) \( \Leftrightarrow |x| = 5\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 5}\\

{x = – 5}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \{ 5; – 5\} .\)

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) \(\sqrt {{x^2} – 2x + 1} = x + 1.\)

b) \(\sqrt {{x^2} – 4x + 4} = 2 – x.\)

c) \(\sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } = \sqrt {x – 1} – 1.\)

d) \(\sqrt {4 – 3\sqrt 3 } = x – 1.\)

a) Vì \(\sqrt {{x^2} – 2x + 1} \) \( = \sqrt {{{(x – 1)}^2}} \) \( = |x – 1|\) nên phương trình đã cho trở thành:

\(|x – 1| = x – 1\) \( \Leftrightarrow x – 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \ge 1.\)

Vậy \(S = \{ x|x \ge 1\} .\)

b) Vì \(\sqrt {{x^2} – 4x + 4} \) \( = \sqrt {{{(x – 2)}^2}} \) \( = |x – 2|\) và \(2 – x = – 1(x – 2)\) nên phương trình đã cho trở thành:

\(|x – 2| = – (x – 2)\) \( \Leftrightarrow x – 2 \le 0\) \( \Leftrightarrow x \le 2.\)

Vậy \(S = \{ x|x \le 2\} .\)

c) Vì \(\sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } \) \( = \sqrt {{{(\sqrt {x – 1} – 1)}^2}} \) \( = |\sqrt {x – 1} – 1|\) nên phương trình đã cho trở thành:

\(|\sqrt {x – 1} – 1| = \sqrt {x – 1} – 1\) \( \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} – 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} \ge 1\) \( \Leftrightarrow x \ge 2.\)

Vậy \(S = \{ x|x \ge 2\} .\)

d) Vì \(\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \) \( = \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} \) \( = |\sqrt 3 – 1|\) \( = \sqrt 3 – 1\) (do \(\sqrt 3 /> 1\)) nên phương trình đã cho trở thành:

\(x – 1 = \sqrt 3 – 1\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .\)

Vậy \(S = \{ \sqrt 3 \} .\)

Ví dụ 4. Giải phương trình:

a) \(\sqrt {25{x^2}} = x – 12.\)

b) \(\sqrt {{x^2} – 2x + 1} = 3x + 2.\)

a) Vì \(\sqrt {25{x^2}} = \sqrt {{{(5x)}^2}} = |5x|\) nên phương trình đã cho trở thành:

\(|5x| = x – 12\) \((1).\)

Do:

\(|5x| = 5x\) khi \(5x \ge 0\) hay \(x \ge 0.\)

\(|5x| = – 5x\) khi \(5x < 0\) hay \(x < 0.\)

Vậy để giải phương trình \((1)\), ta quy về giải hai phương trình sau:

+ Phương trình \(5x = x – 12\) với điều kiện \(x \ge 0.\)

Ta có \(5x = x – 12\) \( \Leftrightarrow 4x = – 12\) \( \Leftrightarrow x = – 3.\) Giá trị \(x = -3\) không thoả mãn điều kiện \(x \ge 0\) nên \(-3\) không phải là nghiệm của \((1).\)

+ Phương trình \( – 5x = x – 12\) với điều kiện \(x < 0.\)

Ta có \( – 5x = x – 12\) \( \Leftrightarrow 12 = 6x\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)

Giá trị \(x = 2\) không thoả mãn điều kiện \(x < 0\) nên \(2\) không là nghiệm của phương trình \((1).\)

Tổng hợp kết quả trên ta có tập nghiệm của phương trình \((1)\) là \(S = \emptyset .\)

b) Vì \(\sqrt {{x^2} – 2x + 1} \) \( = \sqrt {{{(x – 1)}^2}} = |x – 1|\) nên phương trình đã cho trở thành:

\(|x – 1| = 3x + 2\) \((2).\)

Do:

\(|x – 1| = x – 1\) khi \(x – 1 \ge 0\) hay \(x \ge 1.\)

\(|x – 1| = – (x – 1)\) khi \(x – 1 < 0\) hay \(x < 1.\)

Vậy để giải phương trình \((2)\), ta quy về giải hai phương trình sau:

+ Phương trình \(x – 1 = 3x + 2\) với điều kiện \(x \ge 1.\)

Ta có \(x – 1 = 3x + 2\) \( \Leftrightarrow – 2 = 2x\) \( \Leftrightarrow x = – 1.\)

Giá trị \(x= -1\) không thoả mãn điều kiện \(x \ge 1\) nên \( – 1\) không là nghiệm của phương trình \((2).\)

+ Phương trình \( – (x – 1) = 3x + 2\) với điều kiện \(x<1.\)

Ta có: \( – (x – 1) = 3x + 2\) \( \Leftrightarrow – 1 = 4x\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{1}{4}.\)

Giá trị \(x = – \frac{1}{4}\) thoả mãn điều kiện \(x < 1\) nên \( – \frac{1}{4}\) là nghiệm của phương trình \((2).\)

Tổng hợp các kết quả trên, ta có tập nghiệm của phương trình \((2)\) là \(S = \left\{ { – \frac{1}{4}} \right\}.\)

III. Bài tập

Giải các phương trình:

1.

a) \(\sqrt {{{( – 2x)}^2}} = 4.\)

b) \(\sqrt {{x^2} – 2x + 1} = | – 3|.\)

c) \(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 2.\)

d) \(\sqrt {3{x^2}} = | – \sqrt 6 |.\)

2.

a) \(4{x^2} – 4\sqrt 3 x + 3 = 0.\)

b) \({x^2} + 4\sqrt 5 x + 20 = 0.\)

c) \(\sqrt {{x^4}} = 4.\)

d) \(\sqrt {\sqrt {{x^4}} } = 7.\)

3.

a) \(|2x – 1| = 1 – 2x.\)

b) \(|3x + 2| = 3x + 2.\)

c) \(\sqrt {9{x^2} – 6x + 1} = 3x – 1.\)

d) \(\sqrt {4{x^2} – 12x + 9} = 3 – 2x.\)

4.

a) \(\sqrt {25{x^2}} – 3x – 2 = 0.\)

b) \(\sqrt {{{( – 3x)}^2}} + x – 1 = 0.\)

c) \(\sqrt {{x^2} – 10x + 25} = x + 4.\)

d) \(\sqrt {{x^2} + 12x + 36} = 2x + 5.\)