căn bậc hai của một số

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải các dạng toán thường gặp liên quan đến căn bậc hai trong chương trình Đại số 9. Nội dung được trình bày một cách có hệ thống, từ kiến thức cơ bản đến các dạng bài tập điển hình, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn bậc hai

1. Khái niệm: Căn bậc hai của một số \(a\) không âm là số \(x\) sao cho \({x^2} = a.\)

2. Tính chất:

Số âm không có căn bậc hai (vì \(a = {x^2} \ge 0\) với mọi \(x\)).

Số \(0\) chỉ có một căn bậc hai là \(0.\)

Số dương \(a\) có đúng hai căn bậc hai:

+ Một số dương kí hiệu là \(\sqrt a .\)

+ Một số âm kí hiệu là \( – \sqrt a .\)

II. Căn bậc hai số học

1. Định nghĩa: Với một số dương \(a\), số \(\sqrt a \) được gọi là căn bậc hai số học của \(a.\) Số \(0\) cũng được gọi là căn bậc hai số học của \(0.\)

Ta viết: \(x = \sqrt a \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{{x^2} = a}

\end{array}} \right..\)

2. Phép khai phương là phép toán tìm căn thức bậc hai số học của số không âm.

3. Từ định nghĩa ta thu được hai kết quả sau:

+ Kết quả 1: Với \(a \ge 0\) thì \(a = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.\)

+ Kết quả 2: \(\sqrt a \ge 0\) với mọi \(a \ge 0.\)

III. So sánh các căn bậc hai số học

Với hai số \(a\) và \(b\) không âm, ta có: \(a < b\) \( \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b .\)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1. TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH \({x^2} = a.\)

I. Phương pháp giải

1. Xác định dấu của số cần tìm căn để kết luận có mấy căn bậc hai.

2. Sử dụng định nghĩa để xác định căn bậc hai.

3. Nghiệm của phương trình \({x^2} = a\) là các căn bậc hai của \(a.\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của mỗi số sau:

a) \(9.\)

b) \(\frac{9}{{16}}.\)

c) \(0,25.\)

d) \(2.\)

a) Do \(9 /> 0\) nên \(9\) có hai căn bậc hai là \(3\) và \(-3\) vì \({( \pm 3)^2} = 9.\)

b) Do \(\frac{9}{{16}} /> 0\) nên \(\frac{9}{{16}}\) có hai căn bậc hai là \(\frac{3}{4}\) và \( – \frac{3}{4}\) vì \({\left( { \pm \frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}.\)

c) Do \(0,25 /> 0\) nên \(0,25\) có hai căn bậc hai là \(0,5\) và \(-0,5\) vì \({( \pm 0,5)^2} = 0,25.\)

d) Do \(2 /> 0\) nên \(2\) có hai căn bậc hai là \(\sqrt 2 \) và \( – \sqrt 2 \) vì \({\left( { \pm \sqrt 2 } \right)^2} = 2.\)

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) \({x^2} = 1.\)

b) \({x^2} = \frac{4}{9}.\)

c) \({x^2} = 0,36.\)

d) \({x^2} = 3.\)

e) \({x^2} = 0.\)

a) Do \(1 /> 0\) nên \(1\) có hai căn bậc hai là \(1\) và \(-1.\)

Suy ra: \({x^2} = 1\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = – 1}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \{ 1, – 1\} .\)

b) Do \(\frac{4}{9}/>0\) nên \(\frac{4}{9}\) có hai căn bậc hai là \(\frac{2}{3}\) và \( – \frac{2}{3}.\)

Suy ra: \({x^2} = \frac{4}{9}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{2}{3}}\\

{x = – \frac{2}{3}}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{2}{3}, – \frac{2}{3}} \right\}.\)

c) Do \(0,36 /> 0\) nên \(0,36\) có hai căn bậc hai là \(0,6\) và \(-0,6.\)

Suy ra: \({x^2} = 0,36\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0,6}\\

{x = – 0,6}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \{ 0,6; – 0,6\} .\)

d) Do \(3 /> 0\) nên \(3\) có hai căn bậc hai là \(\sqrt 3 \) và \( – \sqrt 3 .\)

Do đó: \({x^2} = 3\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \sqrt 3 }\\

{x = – \sqrt 3 }

\end{array}.} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {\sqrt 3 ; – \sqrt 3 } \right\}.\)

e) Do \(0\) chỉ có một căn bậc hai là \(0\) nên \({x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(S = \{ 0\} .\)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) \({x^2} + 1 = 0.\)

b) \(2{x^2} + 3 = 0.\)

a) Ta có: \({x^2} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = – 1.\)

Vì \( – 1 < 0\) nên \(-1\) không có căn bậc hai.

Phương trình vô nghiệm.

b) Ta có: \(2{x^2} + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = – \frac{3}{2}.\)

Phương trình vô nghiệm vì \( – \frac{3}{2} < 0\) không có căn bậc hai.

III. Bài tập

1. Trong các số sau, số nào là căn bậc hai số học của \(9\)?

\(\sqrt {{{( – 3)}^2}} \), \(\sqrt {{3^2}} \), \( – \sqrt {{3^2}} \), \( – \sqrt {{{( – 3)}^2}} .\)

2. Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) \(16\), \(169\), \(25\), \(49\), \(225.\)

b) \(\frac{4}{{25}}\), \(\frac{{25}}{{169}}\), \(\frac{{64}}{{121}}\), \(\frac{{169}}{{196}}\), \(\frac{{81}}{{625}}.\)

c) \(1,21\); \(0,16\); \(1,96\); \(2,56\); \(6,25.\)

3. Giải các phương trình sau:

a) \(4{x^2} – 1 = 0.\)

b) \(9{x^2} + 2 = 0.\)

c) \({(x + 1)^2} = 2.\)

d) \({(x – 2)^2} = 7.\)

DẠNG 2. KHAI PHƯƠNG MỘT SỐ – TÌM MỘT SỐ BIẾT CĂN BẬC HAI SỐ HỌC CỦA NÓ.

I. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học:

\(x = \sqrt a \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{{x^2} = a}

\end{array}} \right..\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

a) \(25.\)

b) \(64.\)

c) \(\frac{9}{{16}}.\)

d) \(1,44.\)

a) \(\sqrt {25} = 5\) vì \(5 \ge 0\) và \({5^2} = 25.\)

b) \(\sqrt {64} = 8\) vì \(8 \ge 0\) và \({8^2} = 64.\)

c) \(\sqrt {\frac{9}{{16}}} = \frac{3}{4}\) vì \(\frac{3}{4} \ge 0\) và \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}.\)

d) \(\sqrt {1,44} = 1,2\) vì \(1,2 \ge 0\) và \({1,2^2} = 1,44.\)

Ví dụ 2: Tìm số \(x\) không âm biết:

a) \(\sqrt x = 5.\)

b) \(\sqrt x = \sqrt 7 .\)

c) \(\sqrt x = 0.\)

d) \(\sqrt x = – 3.\)

a) \(\sqrt x = 5\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{5 \ge 0}\\

{x = {5^2}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 25.\)

Vậy \(x = 25\) là giá trị cần tìm.

b) Vì \(\sqrt x = \sqrt 7 \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sqrt 7 \ge 0}\\

{x = 7}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 7.\)

Vậy \(x = 7\) là giá trị cần tìm.

c) Vì \(\sqrt x = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{0 \ge 0}\\

{x = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(x=0\) là giá trị cần tìm.

d) \(\sqrt x = – 3.\)

Không tồn tại \(x\) thoả mãn, vì không có căn bậc hai số học nào là một số âm.

III. Bài tập

4. Hãy giải thích vì sao không được viết: \(\sqrt 4 = \pm 2.\)

5. Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

a) \(36\); \(121\); \(144\); \(169\); \(225\); \(256\); \(289\); \(324\); \(361\); \(400.\)

b) \(2,25\); \(0,01\); \(0,04\); \(0,09\); \(0,16\); \(0,25.\)

c) \(\frac{1}{4}\); \(\frac{4}{{25}}\); \(\frac{{49}}{{64}}\); \(\frac{{121}}{{81}}\); \(\frac{{169}}{{100}}.\)

6. Tìm số \(x\) không âm biết:

a) \(2\sqrt x = 6.\)

b) \(3\sqrt x = 1.\)

c) \(4 – 5\sqrt x = – 1.\)

d) \(4\sqrt x = – 3.\)

7. Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right) = 0.\)

b) \(\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) = 0.\)

c) \(\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0.\)

DẠNG 3. SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC.

I. Phương pháp giải

Sử dụng định lý: Với hai số \(a\) và \(b\) không âm ta có: \(a < b\) \( \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b .\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: So sánh:

a) \(2\) và \(\sqrt 3 .\)

b) \(3\) và \(\sqrt 8 .\)

c) \(4\) và \(\sqrt {17} .\)

d) \(5\) và \(\sqrt {17} + 1.\)

a) Vì \(0 < 3 < 4\) nên \(\sqrt 3 < \sqrt 4 = 2.\)

Vậy \(\sqrt 3 < 2.\)

b) Vì \(0 < 8 < 9\) nên \(\sqrt 8 < \sqrt 9 = 3.\)

Vậy \(\sqrt 8 < 3.\)

c) Vì \(0 < 16 < 17\) nên \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {17} .\)

Vậy \(4 < \sqrt {17} .\)

d) Vì \(0 < 16 < 17\) nên \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {17} .\)

Vậy \(5 < \sqrt {17} + 1.\)

Ví dụ 2: Tìm số \(x\) không âm biết:

a) \(\sqrt x /> 3.\)

b) \(\sqrt x < 2.\)

c) \(\sqrt x \ge 4.\)

d) \(\sqrt x \le 0,1.\)

a) Vì \(x \ge 0\) và \(3 = \sqrt 9 /> 0\) nên \(\sqrt x /> 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt x /> \sqrt 9 \) \( \Leftrightarrow x /> 9.\)

Vậy \(x /> 9.\)

b) Vì \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x < 2\) \( \Leftrightarrow 0 \le \sqrt x < \sqrt 4 \) \( \Leftrightarrow 0 \le x < 4.\)

c) Vì \(x \ge 0\) và \(4 = \sqrt {16} /> 0\) nên \(\sqrt x \ge 4\) \( \Leftrightarrow x \ge 16.\)

Vậy \(x \ge 16.\)

d) Vì \(x \ge 0\) \( \Rightarrow \sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x \le 0,1\) \( \Leftrightarrow 0 \le \sqrt x \le 0,1\) \( \Leftrightarrow 0 \le x \le 0,01.\)

Vậy \(0 \le x \le 0,01.\)

III. Bài tập

8. So sánh:

a) \(4\) và \(\sqrt {15} .\)

b) \(5\) và \(\sqrt {26} .\)

c) \(3\) và \(\sqrt {15} – 1.\)

d) \(6\) và \(\sqrt {26} + 1.\)

9. Tìm số \(x\) không âm biết:

a) \(\sqrt x < 3.\)

b) \(\sqrt {2x} \le 4.\)

c) \(3\sqrt x /> 6.\)

d) \(\sqrt {3x} \ge 9.\)

Đánh giá:

Bài viết này có cấu trúc rõ ràng, logic, từ việc trình bày kiến thức nền tảng đến các dạng bài tập cụ thể. Các ví dụ minh họa được đưa ra đầy đủ, giúp học sinh dễ dàng hiểu và áp dụng. Các bài tập được phân loại theo mức độ khó, tạo điều kiện cho học sinh tự luyện tập và củng cố kiến thức. Việc trình bày các bước giải chi tiết cũng là một điểm mạnh của bài viết này.

Tuy nhiên, để bài viết hoàn thiện hơn, có thể bổ sung thêm một số nội dung sau:

• Thêm các bài tập có tính ứng dụng cao hơn, liên hệ với thực tế.
• Đề cập đến các lỗi thường gặp khi giải toán về căn bậc hai và cách khắc phục.
• Cung cấp các nguồn tài liệu tham khảo khác để học sinh có thể tự học và tìm hiểu thêm.