1. Môn Toán
  2. chứng minh hai mặt phẳng song song
chứng minh hai mặt phẳng song song
Thể Loại: TIPS Giải Toán 11
Ngày đăng: 20/02/2019

chứng minh hai mặt phẳng song song

Bài viết trình bày định nghĩa, điều kiện và các định lý thường được áp dụng để chứng minh hai mặt phẳng song song, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 11 chương 2 – đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, bên cạnh đó, bài viết còn cung cấp một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và bài tập tự rèn luyện chủ đề hai mặt phẳng song song.

Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Điều kiện song song của hai mặt phẳng:

Nếu mặt phẳng \((P)\) chứa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau và cùng song song mặt phẳng \((Q)\) thì \((P)\) song song \((Q).\)

chứng minh hai mặt phẳng song song

\(\left. \begin{array}{l}

a\:và\:b \subset (P)\\

a\:cắt\:b\\

a,b//(Q)

\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow (P)//(Q).\)

Các định lí:

a) Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song mặt phẳng đó.

b) Nếu đường thẳng \(a\) song song mặt phẳng \((Q)\) thì qua \(a\) chỉ có duy nhất một mặt phẳng song song mặt phẳng \((Q).\)

c) Nếu hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song thì mọi mặt phẳng \((R)\) cắt \((P)\) thì cắt \((Q)\) và các giao tuyến của chúng song song.

chứng minh hai mặt phẳng song song

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}

{(P)//(Q)}\\

{a = (P) \cap (R)}\\

{b = (Q) \cap (R)}

\end{array}} \right\}\) \( \Rightarrow a//b.\)

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

e) Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau.

f) Định lí Thales:

Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

chứng minh hai mặt phẳng song song

chứng minh hai mặt phẳng song song

g) Định lí Thales đảo:

Nếu trên hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\) lần lượt lấy các điểm \(A\), \(B\), \(C\) và \(A’\), \(B’\), \(C’\) sao cho \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}\) thì ba đường thẳng \(AA’\), \(BB’\), \(CC’\) lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G_1\), \(G_2\), \(G_3\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\), \(ACD\), \(ABD.\) Chứng minh mặt phẳng \({G_1}{G_2}{G_3}\) song song với mặt phẳng \((BCD).\)

chứng minh hai mặt phẳng song song

Gọi \(I\), \(J\), \(K\) lần lượt là trung điểm \(BC\), \(CD\), \(BD.\)

Ta có: \(\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{{A{G_3}}}{{AK}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow {G_1}{G_3}//IK\) \((1).\)

Tương tự: \(\frac{{A{G_3}}}{{AK}} = \frac{{A{G_2}}}{{AJ}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow {G_2}{G_3}//KJ\) \((2).\)

Mà \({G_1}{G_3}\), \({G_3}{G_2}\) là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\) và \(IK\), \(KJ\) là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((BCD).\)

Do đó \(mp\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//mp(BCD).\)

Ví dụ 2: Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm \(SA\), \(SD\), \(AB.\)

a) Chứng minh mặt phẳng \((OMN)\) song song mặt phẳng \((SBC).\)

b) Lấy điểm \(I\) trên \(ON.\) Chứng minh \(PI\) song song với mặt phẳng \((SBC).\)

chứng minh hai mặt phẳng song song

a) Ta có: \(MN // BC\) và \(ON // SB.\)

Mà: \(ON, MN ⊂ mp (OMN)\), \(BC, SB ⊂ mp (SBC).\)

Vậy \(mp (OMN) // mp (SBC).\)

b) Ta có: \(OP // AD\) mà \(AD // MN\) nên \(OP // MN.\)

Vậy \(P ∈ mp (OMN).\)

\(⇒ PI ⊂ mp (OMN).\)

Mà \(mp (OMN) // mp (SBC).\)

\(⇒ PI // mp (SBC).\)

Ví dụ 3: Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên hai đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy hai điểm \(M\), \(N\) sao cho \(AM = BN.\) Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M\), \(N\) lần lượt cắt \(AD\), \(AF\) tại \(H\), \(K.\) Chứng minh:

a) Mặt phẳng \((CBE)\) song song mặt phẳng \((ADF).\)

b) Mặt phẳng \((DEF)\) song song mặt phẳng \((MNHK).\)

chứng minh hai mặt phẳng song song

a) Ta có \(BE // AF\) và \(BC // AD\), mà \(BE\), \(BC\) cắt nhau nằm trong mặt phẳng \((BCE)\), \(AF\), \(AD\) cắt nhau nằm trong mặt phẳng \((ADF).\)

Vậy \(mp (CBE) // mp (ADF).\)

b) Ta có \(NK // EF\) (vì cùng song song với \(AB\)).

Mặc khác:

\(NK//AB \Rightarrow \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AK}}{{AF}}.\)

\(MH//CD \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AD}}.\)

Mà \(BN = AM\) và \(BF = AC.\)

Vậy \(\frac{{AK}}{{AF}} = \frac{{AH}}{{AD}} \Rightarrow HK//FD.\)

Ta có:

\(EF\) và \(FD\) cắt nhau và nằm trong mặt phẳng \((DEF).\)

\(NK\) và \(HK\) cắt nhau và nằm trong mặt phẳng \((NKHM)\)

Mà \(EF // NK\) và \(DF // HK.\)

Do đó \(mp (DEF) // mp (NKHM).\)

[ads]

Ví dụ 4:  Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD.\) Chứng minh rằng các đường phân giác ngoài của các góc \(\widehat {BAC}\), \(\widehat {CAD}\), \(\widehat {DAB}\) đồng phẳng.

chứng minh hai mặt phẳng song song

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên vẽ \(AH ⊥ BC\) thì \(AH\) là đường phân giác trong của \(\widehat {BAC}.\)

Gọi \(Ax\) là đường phân giác ngoài của \(\widehat {BAC}\) thì \(Ax ⊥ AH\) \(⇒ Ax // BC\) \(⇒ Ax // mp (BCD).\)

Tương tự \(Ay\) là đường phân giác của \(\widehat {CAD}\) thì \(Ay // CD\) \(⇒ Ay // mp (BCD).\)

Tương tự \(At\) là đường phân giác của \(\widehat {BAD}\) thì \(At // BD\) \(⇒ At // mp (BCD).\)

Do từ điểm \(A\) ta chỉ vẽ được duy nhất một mặt phẳng \((α)\) song song với mặt phẳng \((BCD)\) nên các đường \(Ax\), \(Ay\), \(At\) cùng nằm trên \((α).\)

Ví dụ 5: Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau \(Ax\), \(By.\) Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm di động trên \(Ax\), \(By\) sao cho \(AM = BN.\) Lấy \(P\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BA} .\) Gọi \(I\) là trung điểm \(MN.\) Chứng minh:

a) \(MP\) có phương không đổi và \(MN\) luôn song song một mặt phẳng cố định.

b) Khi \(M\), \(N\) di động thì \(I\) luôn di động trên một đường thẳng cố định.

chứng minh hai mặt phẳng song song

Do \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BA} \) nên \(P ∈ Ay’\) cố định sao cho: \(Ay’ // By.\)

Ta có: \(AP = AM\) (vì cùng bằng \(BN\)).

Gọi \(J\) là trung điểm \(MP\) thì \(AJ ⊥ MP.\) Do đó \(MP\) luôn song song với một đường cố định là phân giác ngoài \(Az\) của \(\widehat {xAy’}\) cố định.

Ta có: \(NP // AB\) và \(MP // Az.\)

Vậy \(mp (MNP) // mp (AB, Az).\)

Mà \(MN ⊂ mp (MNP)\) nên \(MN // mp (AB, Az)\) cố định.

b) Gọi \(O\) là trung điểm \(AB.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \), \(\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \) mà \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BA} \) nên \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {OA} .\)

Do đó: \(OI//At.\)

Vậy khi \(M\), \(N\) di động thì trung điểm \(I\) của \(MN\) luôn di động trên đường thẳng cố định qua \(O\) và song song \(At\) là tia phân giác của \(\widehat {xAy’}\) cố định.

Ví dụ 6:  Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang (\(AD // BC\), \(AD /> BC\)). Gọi \(M\), \(N\), \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(CD\), \(SA.\)

a) Chứng minh \(MN\) song song \((SBC)\), \((MEN)\) song song \((SBC).\)

b) Tìm giao điểm \(F\) của \((MNE)\) và \(SD.\) Xác định thiết diện của \((MNE)\) với hình chóp.

c) Chứng minh \(SC\) song song \((MNE)\), \(AF\) có song song \((SBC)\) không?

chứng minh hai mặt phẳng song song

a) Ta có \(MN // BC\) mà \(BC ⊂ (SBC)\) \(⇒ MN // (SBC).\)

Ta có \(MN // (SBC)\), \(ME // (SBC)\) \(⇒(MEN) // (SBC).\)

b) Mặt phẳng \((MNE)\) chứa \(MN // AD.\)

Vậy \((MNE)\) cắt \((SAD)\) theo giao tuyến \(Et\) qua \(M\) và song song \(AD.\)

Gọi \(F\) là giao điểm của \(Et\) và \(SD\) thì \(F = SD ∩ (MNE).\)

Mặt cắt của \((MNE)\) và hình chóp là hình thang \(MNFE.\)

c) Ta có \((SBC) // (MNE)\) mà \(SC ⊂ (SBC)\) \(⇒ SC // (MNE).\)

Nếu \(AF // (SBC)\) thì \(AF ⊂ (MNE)\) (vô lí).

Vậy \(AF\) không song song \((SBC).\)

Bài tập rèn luyện:

Bài tập 1: Cho mặt phẳng \((P)\) và điểm \(A\) nằm ngoài \((P).\) Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng qua \(A\) và song song \((P)\) đều nằm trong mặt phẳng \((Q)\) qua \(A\) và song song \((P).\)

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng song song \((P)\) và \((Q).\) Hai đường thẳng song song \(a\) và \(b.\) Gọi \(A\), \(A’\) lần lượt là giao điểm của \(a\) với \((P)\) và \((Q).\) Gọi \(B\), \(B’\) lần lượt là giao điểm của \(b\) với \((P)\) và \((Q).\) Chứng minh \(AA’ = BB’.\)

Bài tập 3: Từ các đỉnh của tam giác \(ABC\), vẽ các đoạn thẳng \(AA’\), \(BB’\), \(CC’\) song song và bằng nhau không nằm trong mặt phẳng \((ABC).\) Gọi \(I\), \(G\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\), \(ACC’\), \(A’B’C’.\) Chứng minh:

a) Mặt phẳng \((IGK)\) song song mặt phẳng \((BB’C’C).\)

b) Mặt phẳng \((A’GK)\) song song mặt phẳng \((AIB’).\)

Bài tập 4: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng \((P)\) cắt \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) tại \(A’\), \(B’\), \(C’\), \(D’.\) Chứng minh \(A’B’C’D’\) là hình bình hành khi và chỉ khi mặt phẳng \((P)\) song song mặt phẳng \((ABCD).\)

Bài tập 5: Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có tất cả các cạnh là hình vuông cạnh \(a.\) Lấy \(M\), \(N\) trên \(AD’\), \(DB\) sao cho \(AM = DN = x\) \((0 < x < a\sqrt 2 ).\)

a) Chứng minh khi \(x\) thay đổi thì \(MN\) luôn song song mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh khi \(x = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) thì \(MN\) song song \(A’C.\)

Bài tập 6: Cho tứ diện \(ABCD.\) Hai điểm \(M\), \(N\) di động trên \(AB\) và \(CD.\) Tìm tập hợp trung điểm \(I\) của \(MN.\)

Bài tập 7: Cho hai tia \(Ax\) và \(By\) lần lượt nằm trên hai đường chéo nhau. Lấy \(M\), \(N\) trên \(Ax\), \(By\) sao cho \(AM = BN = m.\) Chứng minh khi \(m\) thay đổi thì \(MN\) luôn song song một mặt phẳng cố định.

Hình Ảnh Chi Tiết

chứng minh hai mặt phẳng song song chất lượng là một công cụ quan trọng trong hệ thống giáo dục hiện đại, được thiết kế với mục tiêu không chỉ nhằm đánh giá kiến thức lý thuyết mà còn để kiểm tra các kỹ năng thực hành và khả năng tư duy phản biện của học sinh ở từng cấp học cụ thể. Trong bối cảnh giáo dục ngày càng phát triển, việc đánh giá một cách toàn diện và khách quan là điều cần thiết để giúp học sinh nắm vững kiến thức, đồng thời phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề, một yếu tố then chốt trong quá trình học tập và trong cuộc sống sau này.

Nội Dung Đề Thi: chứng minh hai mặt phẳng song song sẽ bao gồm một loạt các bài toán được phân chia thành nhiều phần khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, nhằm phản ánh đầy đủ các lĩnh vực trong chương trình học toán. Các phần này không chỉ giúp kiểm tra kiến thức mà còn khuyến khích học sinh phát huy sự sáng tạo và khả năng tư duy phản biện.

Các Bài Toán Cơ Bản:

Phần này tập trung vào việc kiểm tra kiến thức cơ bản mà học sinh đã học, như các phép toán số học, định nghĩa hình học, và các khái niệm đại số.

Ví dụ: Học sinh sẽ được yêu cầu giải các bài toán tính toán đơn giản, xác định diện tích và chu vi của các hình cơ bản, hay tìm hiểu các tính chất của các đối tượng hình học.

Các Câu Hỏi Mở:

Đây là phần quan trọng nhằm khuyến khích học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập. Các câu hỏi mở yêu cầu học sinh không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức mà còn phải biết phân tích và tổng hợp thông tin để đưa ra các giải pháp đa dạng.

Ví dụ: Một câu hỏi có thể yêu cầu học sinh mô tả cách họ sẽ giải quyết một vấn đề thực tế sử dụng toán học, hoặc đề xuất cách thức tối ưu hóa một quy trình dựa trên các khái niệm toán học mà họ đã học. Tính Tư Duy Sáng Tạo:

Đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn phải khuyến khích khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Các bài toán được thiết kế để học sinh có thể vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào các tình huống mới, qua đó phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo.

Ví dụ: Học sinh có thể được yêu cầu thiết kế một bài toán mới dựa trên một khái niệm đã học, từ đó trình bày lý do vì sao bài toán này có thể thú vị và hữu ích.

Khả Năng Giải Quyết Vấn Đề:

Một trong những mục tiêu chính của đề thi là đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Học sinh sẽ được yêu cầu không chỉ tìm ra đáp án đúng mà còn phải trình bày rõ ràng quy trình và logic đã sử dụng để đến được kết quả đó.

Ví dụ: Bài toán có thể yêu cầu học sinh đưa ra các bước giải quyết một bài toán thực tiễn, từ việc phân tích vấn đề đến việc tìm ra giải pháp khả thi.

Kết Luận:

chứng minh hai mặt phẳng song song chất lượng là một công cụ quan trọng giúp giáo viên và học sinh đánh giá và cải thiện năng lực toán học. Qua các bài toán đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, từ lý thuyết đến thực tiễn, đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn diện về tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Điều này không chỉ chuẩn bị cho học sinh một nền tảng vững chắc trong môn toán học mà còn trang bị cho các em kỹ năng cần thiết để đối mặt với những thách thức trong học tập và trong cuộc sống thực tiễn sau này.

đánh giá tài liệu

5/5
( đánh giá)
5 sao
100%
4 sao
0%
3 sao
0%
2 sao
0%
1 sao
0%