1. Môn Toán
  2. chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Thể Loại: TIPS Giải Toán 11
Ngày đăng: 14/02/2019

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

MonToan.com.vn giới thiệu đến đọc giả bài viết hướng dẫn phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, đây là một dạng toán cơ bản thường gặp khi học chủ đề hình học không gian. Bài viết trình bày định nghĩa, các định lý và một số ví dụ minh họa điển hình chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Các định lí:

Định lí 1. Một đường thẳng (không nằm trên \((\alpha )\)) song song với mặt phẳng \((\alpha )\) khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm trên \((\alpha )\).

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Định lí 2. Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((\alpha )\) thì bất kì mặt phẳng nào chứa \(a\) mà cắt \((\alpha )\) theo giao tuyến \(b\) thì \(b\) song song với \(a.\)

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Định lí 3. Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của nó song song với đường thẳng đó.

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm \(ΔABD.\) Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Chứng minh \(MG\) song song mặt phẳng \((ACD).\)

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Gọi \(I\) là trung điểm \(AD.\) Do \(G\) là trọng tâm \(ΔABD\) nên \(\frac{{BG}}{{GI}} = 2\), mà \(\frac{{BM}}{{CM}} = 2\) nên \(\frac{{BG}}{{GI}} = \frac{{BM}}{{MC}}.\)

Áp dụng định lí Thales trên mặt phẳng \((BIC)\), ta có \(GM//IC.\)

Mà \(IC\) nằm trong mặt phẳng \((ACD).\)

Do đó \(GM//mp(ACD).\)

Ví dụ 2: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm \(AB\), \(CD\) và \(SA.\)

a) Chứng minh \(SB\) và \(SC\) song song với mặt phẳng \((MNP).\)

b) Gọi \(G_1\), \(G_2\) lần lượt là trọng tâm \(ΔABC\) và \(ΔSBC.\) Chứng minh \({G_1}{G_2}\) song song mặt phẳng \((SAC).\)

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Ta có \(MP//SB\) và \(MP\) nằm trong mặt phẳng \((MNP).\)

Vậy \(SB//mp (MNP).\)

Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD.\)

Ta có \(OP//SC\) và \(OP\) nằm trong mặt phẳng \((MNP).\)

Vậy \(SC // mp (MNP).\)

b) Gọi \(I\) là trung điểm \(BC.\)

\(G_1\) trọng tâm \(ΔABC\) \( \Rightarrow \frac{{I{G_1}}}{{IA}} = \frac{1}{3}.\)

\(G_2\) trọng tâm \(ΔSBC\) \( \Rightarrow \frac{{I{G_2}}}{{IS}} = \frac{1}{3}.\)

Vây \(\frac{{I{G_1}}}{{IA}} = \frac{{I{G_2}}}{{IS}}\) \( \Rightarrow {G_1}{G_2}//SA.\)

Mà \(SA\) nằm trong mặt phẳng \((SAC)\) nên \({G_1}{G_2}//mp(SAC).\)

Ví dụ 3: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AD\) và \(AD = 2BC.\) Gọi \(G\) là trọng tâm \(ΔSCD\), \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD.\)

a) Chứng minh \(OG\) song song mặt phẳng \((SBC).\)

b) Gọi \(M\) là trung điểm \(SD.\) Chứng minh \(MC\) song song mặt phẳng \((SAB).\)

c) Lấy \(I\) trên đoạn \(SC\) sao cho \(SI = \frac{2}{3}SC.\) Chứng minh \(SA\) song song mặt phẳng \((BID).\)

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Gọi \(H\) là trung điểm \(SC.\) Ta có: \(\frac{{DG}}{{DH}} = \frac{2}{3}.\)

Do \(BC//AD\) \( \Rightarrow \frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{AD}}{{BC}} = 2\) \( \Rightarrow OD = 2OB\) \( \Rightarrow \frac{{OD}}{{BD}} = \frac{2}{3}.\)

Vậy \(\frac{{DG}}{{DH}} = \frac{{OD}}{{BD}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow OG//BH.\)

Mà \(BH \subset mp(SBC)\) \( \Rightarrow OG//mp(SBC).\)

b) Gọi \(N\) là trung điểm \(SA.\) Ta có: \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}.\)

Vậy \(NMCB\) là hình bình hành \( \Rightarrow CM//BN.\)

Mà \(BN \subset mp(SAB)\) \( \Rightarrow CM//mp(SAB).\)

c) Ta có: \(SI = \frac{2}{3}SC\) \( \Rightarrow \frac{{CI}}{{CS}} = \frac{1}{3}.\)

\(BC//AD\) \( \Rightarrow \frac{{CO}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy: \(\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{{CI}}{{CS}}\) \( \Rightarrow OI//SA\) mà \(OI \subset mp(BID)\) \( \Rightarrow SA//mp(BID).\)

[ads]

Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \(O\), \(O’.\)

a) Chứng minh \(OO’\) song song mặt phẳng \((ADF)\) và \((BCE).\)

b) Lấy hai điểm \(M\), \(N\) trên cạnh \(AE\) và \(BD\) sao cho \(AM = \frac{1}{3}AE\) và \(BN = \frac{1}{3}BD\). Chứng minh \(MN\) song song mặt phẳng \((CDFE).\)

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Ta có: \(OO’\) là đường trung bình của \(ΔAEC\) nên \(OO’//EC\) mà \(EC\) nằm trong mặt phẳng \((BCE)\) nên \(OO’//mp(BCE).\)

Tương tự: \(OO’//DF\) nên \(OO’//mp(ADF).\)

b) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), \(AN\) cắt \(CD\) tại \(G.\)

Ta có: \(AB//DG\) \( \Rightarrow \frac{{NB}}{{ND}} = \frac{{NA}}{{NG}} = \frac{1}{2}.\)

Mặc khác: \(\frac{{AM}}{{ME}} = \frac{1}{2}\) (giả thiết).

Vậy \(\frac{{NA}}{{NG}} = \frac{{MA}}{{ME}}\) nên \(MN//EG.\)

Mà \(EG\) nằm trong mặt phẳng \((CDFE)\) nên \(MN // mp (CDEF).\)

Ví dụ 5: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA.\)

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC).\)

b) Tìm giao điểm của \(SB\) và mặt phẳng \((MCD).\)

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) đã có chung điểm \(S.\)

Ta có \(BC // AD\) mà \(AD ∈ mp (SAD)\) \(⇒ BC // mp (SAD).\)

Mặt phẳng \((SBC)\) chứa \(BC.\)

Vậy mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) cắt nhau theo giao tuyến \(St//AD//BC.\)

b) Ta có \(AB // CD\) \(⇒ AB // mp (MDC).\)

Mặt phẳng \((SAB)\) chứa \(AB\) sẽ cắt mặt phẳng \((MDC)\) theo giao tuyến \(Mx//AB//CD.\)

Trong mặt phẳng \((SAB)\) gọi \(N\) là giao điểm của \(Mx\) và \(SB\) thì \(N\) là giao điểm của \(SB\) và mặt phẳng \((MDC).\)

Ví dụ 6: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy điểm \(M\) trên \(SD.\)

a) Tìm giao điểm \(N\) của \(SC\) và \((ABM).\)

b) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN.\) Chứng minh khi \(M\) thay đổi trên \(SD\) thì \(SK\) luôn luôn song song với mặt phẳng cố định.

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Ta có \(CD // AB\) mà \(AB ⊂ (ABM)\) \(⇒ CD // (ABM).\)

Mặt phẳng \((SCD)\) chứa \(CD.\)

Mặt phẳng \((SCD)\) và mặt phẳng \((MAB)\) có điểm chung là \(M.\)

Vậy \((SCD) ∩ (MAB) = Mt // AB.\)

Trong mặt phẳng \((SCD)\), \(Mt ∩ SC\) tại \(N\) thì \(N = SC ∩ (ABM).\)

b) Hiển nhiên \(S ∈ (SAD) ∩ (SBC).\)

Mặt khác:

\(K ∈ AM ⇒ K ∈ (SAD).\)

\(K ∈ BN ⇒ K ∈ (SBC).\)

Vậy \(SK = (SAD) ∩ (SBC).\)

Hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) chứa hai đường thẳng \(AD // BC\), vậy giao tuyến \(SK\) của chúng song song \(AD // BC.\)

Do \(SK // AD\) mà \(AD ⊂ (ABCD)\) nên \(SK\) song song mặt phẳng cố định \((ABCD).\)

Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho tứ diện \(ABCD.\) Mặt phẳng \((P)\) di động luôn song song \(AB\) và \(CD\) lần lượt cắt \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\) tại \(M\), \(N\), \(E\), \(F.\)

a) Chứng minh \(MNEF\) là hình bình hành.

b) Tìm tập hợp tâm \(I\) của \(MNEF.\)

Bài tập 2: Cho hai hình thang \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Lấy \(M\), \(N\) lần lượt trên \(AB\), \(CE\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{CE}} = x\) \((0<x<1).\) Chứng minh khi \(x\) thay đổi thì \(MN\) luôn song song mặt phẳng \((BCE).\)

Bài tập 3: Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(I\), \(I’\) lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \(ABC\) và \(ABD.\) Chứng minh rằng:

a) Điều kiện cần và đủ để \(II’\) song song \((BCD)\) là \(\frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AB + AC}}{{AB + AD}}.\)

b) Điều kiện cần và đủ để \(II’\) song song \((BCD)\) và \((ACD)\) là \(BC = BD\) và \(AC = AD.\)

Bài tập 4: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy \(M\) là điểm di động trên \(AB.\) Mặt phẳng \((α)\) qua \(M\) song song với \(SA\) và \(BC\) cắt \(SB\), \(SC\), \(SD\) tại \(N\), \(P\), \(Q.\)

a) Chứng minh \(MNPQ\) là hình thang.

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(PQ.\) Chứng minh \(I\) di động trên một đường cố định.

Bài tập 5: Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \((α)\) là mặt phẳng di động luôn song song với \(AB\) và \(CD\) cắt \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\) tại \(M\), \(N\), \(E\), \(F.\)

a) Chứng minh \(MNEF\) là hình bình hành.

b) Tìm tập hợp các tâm \(I\) của \(MNEF.\)

Bài tập 6: Cho tứ diện \(ABCD.\) Lấy \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) lần lượt trên \(AD\), \(AB\), \(BC\), \(CD\) sao cho \(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{GC}}{{GB}} = \frac{{HC}}{{HD}}.\)

a) Chứng minh \(EFGH\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(AC\) song song với \((EFGH)\) và \(BD\) song song với \((EFGH).\)

Bài tập 7: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là điểm di động trên \(SC.\) Mặt phẳng \((P)\) chứa \(AM\) và song song với \(BD.\)

a) Tìm giao điểm \(E\), \(F\) của \(SB\), \(SD\) với \((P).\)

b) Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là giao điểm của \(ME\) với \(CB\), \(MF\) với \(CD.\) Chứng minh \(I\), \(J\), \(A\) thẳng hàng.

Bài tập 8: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\) là đáy lớn. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\), \(SB.\)

a) Chứng minh \(MN\) song song với \(CD.\)

b) Tìm điểm \(P\) là giao điểm của \(SC\) và \((ADN).\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AN\) với \(DP.\) Chứng minh \(SI//AB//CD.\)

d) Tứ giác \(SABI\) là hình gì?

Hình Ảnh Chi Tiết

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chất lượng là một công cụ quan trọng trong hệ thống giáo dục hiện đại, được thiết kế với mục tiêu không chỉ nhằm đánh giá kiến thức lý thuyết mà còn để kiểm tra các kỹ năng thực hành và khả năng tư duy phản biện của học sinh ở từng cấp học cụ thể. Trong bối cảnh giáo dục ngày càng phát triển, việc đánh giá một cách toàn diện và khách quan là điều cần thiết để giúp học sinh nắm vững kiến thức, đồng thời phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề, một yếu tố then chốt trong quá trình học tập và trong cuộc sống sau này.

Nội Dung Đề Thi: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng sẽ bao gồm một loạt các bài toán được phân chia thành nhiều phần khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, nhằm phản ánh đầy đủ các lĩnh vực trong chương trình học toán. Các phần này không chỉ giúp kiểm tra kiến thức mà còn khuyến khích học sinh phát huy sự sáng tạo và khả năng tư duy phản biện.

Các Bài Toán Cơ Bản:

Phần này tập trung vào việc kiểm tra kiến thức cơ bản mà học sinh đã học, như các phép toán số học, định nghĩa hình học, và các khái niệm đại số.

Ví dụ: Học sinh sẽ được yêu cầu giải các bài toán tính toán đơn giản, xác định diện tích và chu vi của các hình cơ bản, hay tìm hiểu các tính chất của các đối tượng hình học.

Các Câu Hỏi Mở:

Đây là phần quan trọng nhằm khuyến khích học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập. Các câu hỏi mở yêu cầu học sinh không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức mà còn phải biết phân tích và tổng hợp thông tin để đưa ra các giải pháp đa dạng.

Ví dụ: Một câu hỏi có thể yêu cầu học sinh mô tả cách họ sẽ giải quyết một vấn đề thực tế sử dụng toán học, hoặc đề xuất cách thức tối ưu hóa một quy trình dựa trên các khái niệm toán học mà họ đã học. Tính Tư Duy Sáng Tạo:

Đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn phải khuyến khích khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Các bài toán được thiết kế để học sinh có thể vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào các tình huống mới, qua đó phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo.

Ví dụ: Học sinh có thể được yêu cầu thiết kế một bài toán mới dựa trên một khái niệm đã học, từ đó trình bày lý do vì sao bài toán này có thể thú vị và hữu ích.

Khả Năng Giải Quyết Vấn Đề:

Một trong những mục tiêu chính của đề thi là đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Học sinh sẽ được yêu cầu không chỉ tìm ra đáp án đúng mà còn phải trình bày rõ ràng quy trình và logic đã sử dụng để đến được kết quả đó.

Ví dụ: Bài toán có thể yêu cầu học sinh đưa ra các bước giải quyết một bài toán thực tiễn, từ việc phân tích vấn đề đến việc tìm ra giải pháp khả thi.

Kết Luận:

chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chất lượng là một công cụ quan trọng giúp giáo viên và học sinh đánh giá và cải thiện năng lực toán học. Qua các bài toán đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, từ lý thuyết đến thực tiễn, đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn diện về tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Điều này không chỉ chuẩn bị cho học sinh một nền tảng vững chắc trong môn toán học mà còn trang bị cho các em kỹ năng cần thiết để đối mặt với những thách thức trong học tập và trong cuộc sống thực tiễn sau này.

đánh giá tài liệu

5/5
( đánh giá)
5 sao
100%
4 sao
0%
3 sao
0%
2 sao
0%
1 sao
0%