đề tuyển sinh 10 môn toán (chuyên) năm 2020 – 2021 trường ptnk – tp hcm

Ngày 13 tháng 7 năm 2020, trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh đã tổ chức kỳ thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán năm học 2020 – 2021. Kỳ thi này được xem là một trong những thước đo quan trọng đánh giá năng lực học tập môn Toán của học sinh THCS trên địa bàn thành phố.

Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán năm 2020 – 2021 của trường PTNK – TP.HCM có cấu trúc gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy thi duy nhất. Thời gian làm bài là 120 phút, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân bổ thời gian hợp lý và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.

Nội dung đề thi bao gồm các bài toán sau:

1. Bài toán 1: Xét các phương trình bậc hai x² + ax + 3 = 0 và x² + bx + 5 = 0, với a và b là các tham số.
   • a) Chứng minh rằng nếu ab ≥ 16 thì ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm thực.
   • b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x₀. Tìm các giá trị của a và b sao cho |a| + |b| đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Bài toán 2: Giải phương trình 3x² – y² = 23ⁿ, trong đó n là một số tự nhiên.
   • a) Chứng minh rằng nếu n là số chẵn thì phương trình không có nghiệm nguyên (x; y).
   • b) Chứng minh rằng nếu n là số lẻ thì phương trình có nghiệm nguyên (x; y).
3. Bài toán 3: Cho số tự nhiên a = 3¹³.5⁷.7²⁰.
   • a) Gọi A là tập hợp các số nguyên dương k là ước của a và chia hết cho 105. Xác định số lượng phần tử của tập A.
   • b) Giả sử B là một tập con bất kỳ của A có 9 phần tử. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai phần tử của B có tích là một số chính phương.

Đánh giá và nhận xét: Đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần có khả năng tư duy logic, sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề. Các bài toán được xây dựng có tính liên kết, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng nhiều kiến thức khác nhau để tìm ra lời giải. Đặc biệt, bài toán về phương trình Diophantine (bài 2) và bài toán về ước số (bài 3) thể hiện rõ sự phân hóa cao, giúp nhà trường tuyển chọn được những học sinh có năng lực đặc biệt trong lĩnh vực Toán học.