Chào mừng các em học sinh đến với bài học số 3 trong chương trình Giải Toán 12 tập 2. Bài học hôm nay sẽ tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán về hình học, cụ thể là tính diện tích hình phẳng và thể tích vật tròn.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 2, chương 4, tập trung vào việc khai thác sức mạnh của tích phân trong việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Nội dung chính xoay quanh hai ứng dụng quan trọng: tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật tròn.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:
S = ∫ab |f(x)| dx
Trong đó:
Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì S = ∫ab f(x) dx. Nếu f(x) ≤ 0 trên [a, b] thì S = -∫ab f(x) dx.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) trên đoạn [a, b], ta sử dụng công thức:
S = ∫ab |f(x) - g(x)| dx
Lưu ý: Xác định đúng khoảng tích phân và dấu của hàm số là rất quan trọng để đảm bảo kết quả chính xác.
Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật tròn:
Trong đó:
Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào hình dạng của vật tròn và cách bố trí trục quay.
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.
Giải:
S = ∫-12 x2 dx = [x3/3]-12 = (8/3) - (-1/3) = 3
Ví dụ 2: Tính thể tích vật tròn tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.
Giải:
V = π∫04 (√x)2 dx = π∫04 x dx = π[x2/2]04 = 8π
Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong bài học này sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán thực tế và các kỳ thi quan trọng. montoan.com.vn hy vọng rằng với những giải thích chi tiết và bài tập ví dụ minh họa, các em sẽ hiểu rõ hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học.