1. Môn Toán
  2. Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bạn đang khám phá nội dung Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân trong chuyên mục đề thi toán 12 trên nền tảng học toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12

Chào mừng các em học sinh đến với bài học số 3 trong chương trình Giải Toán 12 tập 2. Bài học hôm nay sẽ tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán về hình học, cụ thể là tính diện tích hình phẳng và thể tích vật tròn.

montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12

Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 2, chương 4, tập trung vào việc khai thác sức mạnh của tích phân trong việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Nội dung chính xoay quanh hai ứng dụng quan trọng: tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật tròn.

I. Tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫ab |f(x)| dx

Trong đó:

  • f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
  • ab |f(x)| dx là tích phân xác định của giá trị tuyệt đối của f(x) từ a đến b.

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì S = ∫ab f(x) dx. Nếu f(x) ≤ 0 trên [a, b] thì S = -∫ab f(x) dx.

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) trên đoạn [a, b], ta sử dụng công thức:

S = ∫ab |f(x) - g(x)| dx

Lưu ý: Xác định đúng khoảng tích phân và dấu của hàm số là rất quan trọng để đảm bảo kết quả chính xác.

II. Tính thể tích vật tròn

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật tròn:

  1. Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật tròn có tiết diện vuông góc với trục quay là một hình tròn. Công thức: V = π∫ab [f(x)]2 dx
  2. Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật tròn có tiết diện vuông góc với trục quay là một hình chữ nhật. Công thức: V = 2π∫ab x * f(x) dx

Trong đó:

  • f(x) là hàm số xác định bán kính hoặc chiều cao của vật tròn.
  • a và b là giới hạn của khoảng tích phân.

Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào hình dạng của vật tròn và cách bố trí trục quay.

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải:

S = ∫-12 x2 dx = [x3/3]-12 = (8/3) - (-1/3) = 3

Ví dụ 2: Tính thể tích vật tròn tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

V = π∫04 (√x)2 dx = π∫04 x dx = π[x2/2]04 = 8π

IV. Lưu ý khi giải bài tập

  • Xác định đúng khoảng tích phân.
  • Xác định đúng hàm số cần tích phân.
  • Chú ý đến dấu của hàm số khi tính diện tích hình phẳng.
  • Lựa chọn phương pháp tính thể tích phù hợp.
  • Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán.

V. Kết luận

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong bài học này sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán thực tế và các kỳ thi quan trọng. montoan.com.vn hy vọng rằng với những giải thích chi tiết và bài tập ví dụ minh họa, các em sẽ hiểu rõ hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học.

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 12

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 12