Tài liệu gồm 140 trang trình bày các dạng toán trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4 – Giới hạn, với các chủ đề: giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục, sau mỗi phần đều có bài tập trắc nghiệm và tự luận giới hạn có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương.
1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Phương pháp:
+ Để chứng minh lim un = 0 ta chứng minh với mọi số a /> 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un| < a với mọi n /> na.
+ Để chứng minh lim un = 1 ta chứng minh lim(un – 1) = 0.
+ Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với mọi số M /> 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un /> M với mọi n /> nM.
+ Để chứng minh lim un = -∞ ta chứng minh lim (-un) = +∞.
+ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
+ Khi tìm lim f(n)/g(n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n^k, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
+ Khi tìm lim [(f(n))^1/k – (g(n))^1/m] trong đó lim f(n) = lim g(n) = +∞ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số
+ Bài toán 01: Tìm lim f(x) khi x → x0 biết xác định tại x0
+ Bài toán 02. Tìm lim f(x)/g(x) khi x → x0 trong đó f(x0) = g(x0) = 0
+ Bài toán 03: Tìm lim f(x)/g(x) khi x → ±∞, trong đó f(x), g(x) → ∞, dạng này ta còn gọi là dạng vô định ∞/∞
+ Bài toán 04: Dạng vô định: ∞ – ∞ và 0.∞
+ Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác
[ads]
3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp:
+ Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x0 và tính f(x0)
+ Nếu tồn tại lim f(x) khi x → x0 thì ta so sánh với lim f(x) khi x → x0 với f(x0)
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Phương pháp: Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp:
+ Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f(a).f(b) < 0.
+ Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) (i = 1, 2, …, k) nằm trong D sao cho f(ai).f(ai+1) < 0.
các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn bảo vương chất lượng là một công cụ quan trọng trong hệ thống giáo dục hiện đại, được thiết kế với mục tiêu không chỉ nhằm đánh giá kiến thức lý thuyết mà còn để kiểm tra các kỹ năng thực hành và khả năng tư duy phản biện của học sinh ở từng cấp học cụ thể. Trong bối cảnh giáo dục ngày càng phát triển, việc đánh giá một cách toàn diện và khách quan là điều cần thiết để giúp học sinh nắm vững kiến thức, đồng thời phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề, một yếu tố then chốt trong quá trình học tập và trong cuộc sống sau này.
Nội Dung Đề Thi: các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn bảo vương sẽ bao gồm một loạt các bài toán được phân chia thành nhiều phần khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, nhằm phản ánh đầy đủ các lĩnh vực trong chương trình học toán. Các phần này không chỉ giúp kiểm tra kiến thức mà còn khuyến khích học sinh phát huy sự sáng tạo và khả năng tư duy phản biện.
Các Bài Toán Cơ Bản:
Phần này tập trung vào việc kiểm tra kiến thức cơ bản mà học sinh đã học, như các phép toán số học, định nghĩa hình học, và các khái niệm đại số.
Ví dụ: Học sinh sẽ được yêu cầu giải các bài toán tính toán đơn giản, xác định diện tích và chu vi của các hình cơ bản, hay tìm hiểu các tính chất của các đối tượng hình học.
Các Câu Hỏi Mở:
Đây là phần quan trọng nhằm khuyến khích học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập. Các câu hỏi mở yêu cầu học sinh không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức mà còn phải biết phân tích và tổng hợp thông tin để đưa ra các giải pháp đa dạng.
Ví dụ: Một câu hỏi có thể yêu cầu học sinh mô tả cách họ sẽ giải quyết một vấn đề thực tế sử dụng toán học, hoặc đề xuất cách thức tối ưu hóa một quy trình dựa trên các khái niệm toán học mà họ đã học. Tính Tư Duy Sáng Tạo:
Đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn phải khuyến khích khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Các bài toán được thiết kế để học sinh có thể vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào các tình huống mới, qua đó phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo.
Ví dụ: Học sinh có thể được yêu cầu thiết kế một bài toán mới dựa trên một khái niệm đã học, từ đó trình bày lý do vì sao bài toán này có thể thú vị và hữu ích.
Khả Năng Giải Quyết Vấn Đề:
Một trong những mục tiêu chính của đề thi là đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Học sinh sẽ được yêu cầu không chỉ tìm ra đáp án đúng mà còn phải trình bày rõ ràng quy trình và logic đã sử dụng để đến được kết quả đó.
Ví dụ: Bài toán có thể yêu cầu học sinh đưa ra các bước giải quyết một bài toán thực tiễn, từ việc phân tích vấn đề đến việc tìm ra giải pháp khả thi.
Kết Luận:
các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn bảo vương chất lượng là một công cụ quan trọng giúp giáo viên và học sinh đánh giá và cải thiện năng lực toán học. Qua các bài toán đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, từ lý thuyết đến thực tiễn, đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn diện về tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Điều này không chỉ chuẩn bị cho học sinh một nền tảng vững chắc trong môn toán học mà còn trang bị cho các em kỹ năng cần thiết để đối mặt với những thách thức trong học tập và trong cuộc sống thực tiễn sau này.
