Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ các khái niệm về thống kê và đo lường mức độ phân tán của dữ liệu là vô cùng quan trọng. Bài 2 trong SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào hai khái niệm then chốt: phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về các khái niệm này, công thức tính toán, và cách áp dụng chúng vào giải các bài tập thực tế.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi khoảng sẽ có một tần số tương ứng, cho biết số lượng dữ liệu thuộc về khoảng đó. Ví dụ, một bảng tần số có thể biểu diễn điểm thi của học sinh trong một lớp, với các khoảng điểm như 0-5, 5-10, 10-15, v.v.

2. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (variance) là một số đo mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

S² = Σ[(x_i - x̄)² * n_i] / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là trung điểm của khoảng thứ i
• x̄ là trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm
• n_i là tần số của khoảng thứ i
• n là tổng số lượng dữ liệu

3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng là một số đo mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng có đơn vị giống với dữ liệu gốc. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

S = √S²

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số sau:

Để tính phương sai và độ lệch chuẩn, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính trung điểm của mỗi khoảng: x₁ = 2.5, x₂ = 7.5, x₃ = 12.5, x₄ = 17.5
2. Tính trung bình cộng: x̄ = (2.5*2 + 7.5*5 + 12.5*8 + 17.5*3) / (2+5+8+3) = 10.25
3. Tính phương sai: S² = [(2.5-10.25)²*2 + (7.5-10.25)²*5 + (12.5-10.25)²*8 + (17.5-10.25)²*3] / (18-1) = 38.84
4. Tính độ lệch chuẩn: S = √38.84 = 6.23

5. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn giúp chúng ta đánh giá mức độ đồng nhất của dữ liệu. Nếu phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ, dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình, cho thấy tính đồng nhất cao. Ngược lại, nếu phương sai và độ lệch chuẩn lớn, dữ liệu phân tán rộng, cho thấy tính đồng nhất thấp.

6. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Trong thống kê: Đánh giá độ tin cậy của các kết quả nghiên cứu.
• Trong tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
• Trong khoa học: Phân tích sự biến thiên của các hiện tượng tự nhiên.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em một cái nhìn toàn diện về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.