Toán học là gì? Lịch sử ra đời và sự phát triển của Toán học

Toán học là gì? Lịch sử của toán học hay sự ra đời, phát triển và ứng dụng cũng như tầm quan trọng của toán học trong cuộc sống. Các bạn hãy cùng MonToan.vn tìm hiểu nhé.

Toán học là gì?

Toán học là một môn khoa học nghiên cứu về lôgic của các con số, cấu trúc, không gian và phép biến đổi. Toán học có mặt khắp nơi xung quanh chúng ta. Trong mọi hoạt động chúng ta làm. Toán học chính là thước đo cho mọi thứ trong cuộc sống thường ngày.

Kể từ khi lịch sử ghi chép lại, khám phá toán học đã luôn đi đầu trong mọi xã hội văn minh. Là một môn học được sử dụng ngay cả trong những nền văn hóa nguyên thủy nhất. Toán học phát sinh từ nhu cầu của xã hội. Khi xã hội càng phát triển, nhu cầu tính toán cũng trở nên phức tạp hơn. Các bộ lạc nguyên thủy chỉ sử dụng toán học một cách đơn giản để tính toán vị trí của mặt trời và vật lý săn bắn.

Toán học là một ngành học đòi hỏi tư duy logic cao và óc thông minh. Nó chứa đựng những vấn đề thách thức nhất đối với bộ não chúng ta. Học toán hay nghiên cứu toán học chính là vận dụng khả năng suy luận logic và óc thông minh của chúng ta.

Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có khoa học.

Lịch sử ra đời của môn Toán học

Số đếm được ra đời đầu tiên

Sự ra đời và phát triển của Toán có sự đóng góp của các nền văn minh ở Lưỡng Hà, Trung Quốc, Ấn Độ, Ai Cập, Trung Mỹ… Người Lưỡng Hà là những người đầu tiên phát triển một hệ thống đếm. Lưỡng Hà là một nền văn minh cổ phát triển rực rỡ vào thời kỳ 4.000 năm TCN. Đây là một vùng lịch sử ở phía nam Lưỡng Hà, tức là Iraq hiện nay.

Các nhà toán học đã phát triển số học, bao gồm các phép toán cơ bản, phép nhân, phân số. Hệ thống đếm của người Lưỡng Hà đã vượt qua Đế quốc Akkadian của người Babylon khoảng 300 năm. Ở Mỹ, người Mayans đã phát triển các hệ thống lịch phức tạp. Họ cũng là những nhà thiên văn học lành nghề. Khoảng thời gian này, khái niệm về số không đã được phát triển.

• Từ "toán học" xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa là khoa học, kiến thức hoặc học tập. Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể của kiến thức, nghiên cứu về lượng, cấu trúc và sự thay đổi, là ngôn ngữ của vũ trụ.
• Lịch sử toán học chủ yếu nghiên cứu nguồn gốc của những khám phá mới trong toán học, cũng như các phương pháp và ký hiệu toán học chuẩn trong quá khứ.
• Trước thời hiện đại, các ví dụ về sự phát triển toán học chỉ xuất hiện ở những khu vực cụ thể. Các văn bản toán học cổ nhất đến từ Lưỡng Hà cổ đại (khoảng 1900 TCN), Ai Cập cổ đại (khoảng 1800 TCN), Ấn Độ cổ đại (khoảng 800 TCN) đều đề cập đến Định lý Pythagore, một trong những phát triển toán học cổ nhất và rộng rãi nhất sau số học và hình học.
• Những đóng góp của Hy Lạp cổ đại cho toán học được đánh giá rất cao, thúc đẩy sự phát triển cả về phương pháp và nội dung.
• Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học là sau những giai đoạn phát triển bùng nổ thường là những giai đoạn trì trệ kéo dài hàng thế kỷ. Từ thời Phục hưng ở Ý vào thế kỷ 16, các phát triển toán học mới tương tác với những khám phá khoa học và diễn ra với tốc độ ngày càng tăng cho đến ngày nay.

Nguồn gốc

Nguồn gốc Từ lâu về trước khi xuất hiện chữ viết cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy có kiến thức về toán và đo thời gian dựa vào sao trời. Đơn cử, các nhà cổ nhân học phát hiện các mảnh đất đỏ trong một hang động ở Nam Phi, được trang trí bởi những hình khắc hình học có niên đại khoảng 70.000 năm TCN. Các di chỉ tiền sử được tìm thấy ở Châu Phi và Pháp có niên đại từ 35000 TCN đến 20000 TCN cũng cho thấy những nỗ lực ban đầu nhằm định lượng thời gian.

Các bằng chứng còn lại cho rằng việc đếm thời kỳ đầu chủ yếu do phụ nữ đảm nhiệm, đây là những người ghi lại các vật đánh dấu chu kỳ sinh học hàng tháng của mình; ví dụ vẽ hai mươi tám, hai mươi chín hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc đá, theo sau là một vạch khác cách biệt. Ngoài ra, những người thợ săn cũng đã có khái niệm về một, hai và nhiều, cũng như không khi xem xét số bầy thú.

Xương Ishango Xương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sông Nin (phía bắc Cộng hòa Dân chủ Congo), có niên đại vào khoảng 20.000 năm TCN. Bản dịch phổ biến nhất của hòn đá này cho thấy đây là bằng chứng sớm nhất thể hiện một dãy số nguyên tố và phép nhân của người Ai Cập cổ đại. Người Ai Cập vào thiên niên kỷ thứ 5 TCN đã vẽ những bức tranh về thiết kế hình học và không gian. Người ta đã xác định được những hòn đá tế thần tại Anh và Scotland có niên đại từ thiên niên kỷ thứ 3 TCN, bao gồm các ý tưởng hình học như hình tròn, hình elip và bộ ba Pytago trong thiết kế của nó.

Nền toán học sớm nhất được biết đến tại Ấn Độ cổ đại xuất hiện vào khoảng 3000 TCN - 2600 TCN ở nền văn minh lưu vực Indus (nền văn minh Harappa) của Bắc Ấn Độ và Pakistan. Nền văn minh này đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo của lưu vực Indus cổ đại sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng kinh ngạc sử dụng tỷ lệ, các con đường được định vị theo một góc vuông hoàn hảo, và một số hình học và thiết kế, bao gồm hình chữ nhật, hình nón, hình trụ và các bức vẽ các hình tròn và hình tam giác cắt nhau và đồng quy. Các dụng cụ toán học được tìm thấy bao gồm thước đo hệ cơ số 10 với các vạch chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một compa để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các ngôi sao nhằm mục đích định hướng. Chữ viết Indus vẫn chưa được giải mã; do đó chúng ta biết rất ít về các dạng viết của toán học Harappa. Các bằng chứng khảo cổ khiến các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt được kiến thức về tỷ lệ giữa chu vi của đường tròn với bán kính của nó, do đó tính được số π.

Toán học người Maya

Ngữ pháp số của người Maya, bao gồm số 0

Khi phát triển cùng với các nền văn minh khác tại Trung Mỹ, người Maya đã sử dụng hệ đếm nhị thập phân (vigesimal) và hệ ngũ phân (xem chữ số Maya). Hệ ngũ phân được xây dựng dựa trên so sánh với số ngón tay trên một bàn tay, trong khi nhị thập phân tương ứng với tổng số ngón tay và ngón chân. Trong ngôn ngữ Quiche, từ chỉ số 20 là "huvinak", có nghĩa là "toàn thân". Hơn nữa, người Maya đã phát triển khái niệm "số 0" vào năm 357, trước châu Âu khoảng gần 900 năm. Các văn bản cổ đã chứng minh rằng, người Maya có nhu cầu phải cộng thêm hàng trăm triệu và số ngày lớn yêu cầu phải có phương pháp chính xác để thực hiện chúng. Kết quả tính toán về thiên văn học dài hạn là rất chính xác; bản đồ về sự vận động của Mặt Trăng và các hành tinh đạt được mức độ chính xác bằng hoặc cao hơn các nền văn minh khác quan sát vũ trụ bằng mắt thường.

Lịch Maya

Người Maya đã xác định độ dài của một năm chính xác là 365 ngày, thời gian Trái Đất quay hết một vòng quanh Mặt Trời, chính xác hơn nhiều lịch được sử dụng tại châu Âu vào thời đó (lịch Gregory). Một số giả thuyết cho rằng người Maya đã kế thừa cách tính lịch từ các nền văn minh cổ Zapotecs (ở Mont Alban) và Olmecs (ở La venta và Tres Zapotes). Tuy nhiên, người Maya không áp dụng độ dài tính toán thời gian một năm vào lịch của họ. Thay vào đó, họ sử dụng lịch (gọi là lịch Maya) dựa trên năm Mặt Trời với 365 ngày. Một năm Mặt Trời được chia thành 18 tháng, mỗi tháng có 20 ngày (sử dụng hệ đếm cơ số 20), và 5 ngày còn lại được đưa vào cuối năm. Các ngày trong tháng được ghi bằng số thứ tự từ 0 đến 19 trước tên tháng (0 đến 4 cho tháng thiếu, cuối năm có 5 ngày). Theo lịch này, các năm nối tiếp nhau không ngừng, không có năm nhuận. Do đó, lịch sẽ bị sai lệch lùi một ngày trong vòng 4 năm. So với lịch Julius, được sử dụng tại châu Âu từ thời Đế quốc La Mã đến thế kỷ 16, thì độ sai số cho một ngày là mỗi 128 năm; với lịch Gregory hiện đại, thì sai số sấp xỉ một ngày mỗi 3.257 năm.

Lịch của thầy bói

Ngày xưa, các nhóm người da đỏ như Quiche, Ixil và Mam sử dụng bộ lịch Maya truyền thống với một năm bao gồm 260 ngày để dự đoán sự tương lai. Để giải thích lý do tại sao bộ lịch có chính xác 260 ngày, nhiều thầy bói ở Chichicastenango và Momstenango đã được cuộc phỏng vấn và kết luận ra rằng: Việc chọn chiều dài của năm này không phải do tình yêu mà là phù hợp với thời gian mang thai của con người. Hệ thống đếm 20 cho phép chia một năm 260 ngày thành 13 tháng, mỗi tháng 20 ngày, và kết hợp với một trong 20 tên các loài động vật, các lực lượng tự nhiên, các quan niệm hoặc khái niệm mà ý nghĩa không còn tồn tại đến ngày hôm nay.

Toán học cổ đại vùng Cận Đông

Lưỡng Hà

Toán học Babylon là thuật ngữ chỉ toán học của cư dân Lưỡng Hà (ngày nay là Iraq) từ thời kỳ Sumer sơ khai cho đến đầu thời kỳ Hy Lạp hóa. Toán học Babylon được đặt tên theo trung tâm nghiên cứu chính của nó, thành phố Babylon, đã không còn tồn tại sau thời kỳ Hy Lạp hóa. Các nhà toán học Babylon đã hợp tác với các nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp. Sau đó, dưới thời Đế chế Ả Rập, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu toán học Hồi giáo quan trọng.

Ngược lại với sự thiếu hụt nguồn tư liệu về toán học Hy Lạp, hiểu biết của con người về toán học Babylon lại bắt nguồn từ hơn 400 tấm đất sét được khai quật từ những năm 1850. Được viết bằng chữ viết hình nêm trên đất sét ướt và nung cứng trong lò hoặc dưới sức nóng của mặt trời, một số tấm đất sét dường như là bài tập về nhà.

Các văn tự toán học sớm nhất có từ thời người Sumer cổ đại, những người đã xây dựng nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà. Họ đã phát triển một hệ thống đo lường phức tạp từ năm 3000 trước Công nguyên. Khoảng 2500 trước Công nguyên, người Sumer đã viết các bảng nhân trên đất sét và giải các bài toán hình học và phép chia. Dấu vết sớm nhất của hệ thống số Babylon cũng có từ khoảng thời gian này.

Một lượng lớn các tấm đất sét đã được tìm thấy có niên đại từ khoảng 1800 trước Công nguyên đến 1600 trước Công nguyên, bao gồm các chủ đề về phân số, đại số, phương trình bậc ba và bậc bốn, cũng như các tính toán về các bộ ba Pythagoras (xem Plimpton 322). Các tấm đất sét này cũng chứa các bảng nhân, bảng lượng giác và các phương pháp giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai. Tấm đất sét YBC 7289 cho thấy một phép tính xấp xỉ căn bậc hai của 2 chính xác đến năm chữ số thập phân.

Toán học Babylon được viết trong hệ cơ số 60. Đây là nguồn gốc của 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 x 6) độ trong một vòng tròn ngày nay. Sự tiến bộ của người Babylon trong toán học đã được thúc đẩy bởi tính chia hết cao của số 60. Không giống như người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một hệ thống số dùng hệ thống vị trí thập phân, trong đó các chữ số ở cột bên trái biểu thị giá trị cao hơn. Tuy nhiên, họ không có ký hiệu thập phân, vì vậy vị trí thập phân thường được suy ra trong ngữ cảnh.

Toán học của người Ai Cập

Người Ai Cập cổ đại và toán học

Toán học Ai Cập cổ đại gắn liền với vị thần Thoth trong truyền thuyết, vị thần được cho là đã sáng tạo ra chữ viết Ai Cập, hệ thống số, toán học và thiên văn.

Sự giao thoa với Hy Lạp và Babylon

Từ thời Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay thế tiếng Ai Cập trở thành ngôn ngữ viết của các học giả Ai Cập, dẫn đến toán học Ai Cập hòa nhập với toán học Hy Lạp và Babylon để tạo thành nền toán học Hy Lạp. Sau đó, toán học ở Ai Cập tiếp tục phát triển dưới thời Đế chế Ả Rập như một phần của toán học Hồi giáo, khi tiếng Ả Rập trở thành tiếng viết của các học giả Ai Cập.

Các văn tự toán học Ai Cập

Văn tự toán học Ai Cập lâu đời nhất được tìm thấy cho đến nay là cuộn giấy cói Moskva, một văn tự bằng giấy cói từ Vương quốc giữa Ai Cập (khoảng 2000-1800 TCN), hiện được gọi là bài toán chữ. Văn tự này có mục đích giải trí. Một bài toán đáng chú ý đưa ra phương pháp tìm thể tích của hình cụt.

Giấy cói Rhind (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng khác hướng dẫn về số học và hình học. Ngoài việc cung cấp các công thức diện tích và các phương pháp nhân, chia và làm việc với các phân số đơn vị, văn tự này còn chứa bằng chứng cho thấy người Ai Cập cổ đại có kiến thức về các khái niệm toán học khác (xem Phân số đơn vị Ai Cập), bao gồm các số hợp số và số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa; và kiến thức cơ bản về sàng Eratosthenes và số hoàn hảo. Văn tự này cũng chỉ ra cách giải phương trình tuyến tính bậc nhất cũng như cấp số cộng và cấp số nhân.

Ngoài ra, ba thành phần hình học trong giấy cói Rhind cho thấy kiến thức cơ bản của người Ai Cập cổ đại về hình học giải tích: (1) Làm thế nào để gần đúng số π với độ chính xác dưới một phần trăm; (2) Cố gắng xác định hình vuông của hình tròn; (3) Sử dụng các phép đo góc sớm nhất được biết đến.

Cuối cùng, giấy cói Berlin cũng cho thấy rằng người Ai Cập cổ đại có khả năng giải các phương trình đại số bậc hai.

Toán học Hy Lạp cổ đại (khoảng 550 TCN-300)

Toán học Hy Lạp là toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp từ khoảng năm 600 TCN đến năm 450. Các nhà toán học Hy Lạp sống rải rác ở các thành phố trên khắp Địa Trung Hải, từ Ý đến Bắc Phi, nhưng họ có chung ngôn ngữ và văn hóa. Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic.

Toán học Hy Lạp phức tạp hơn nhiều so với toán học của các nền văn hóa trước đó. Mọi ghi chép còn sót lại của toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy sử dụng lý luận qui nạp, tức là quan sát được dùng để lập ra các phép đo dựa trên kinh nghiệm. Người Hy Lạp đã sử dụng lý luận logic để suy ra kết luận từ các định nghĩa và tiên đề.

Toán học Hy Lạp có lẽ bắt đầu với Thales (khoảng 624-khoảng 546 TCN) và Pythagoras (khoảng 582-khoảng 507 TCN). Mặc dù không có bằng chứng, có thể họ đã phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon và có thể cả Ấn Độ. Theo truyền thuyết, Pythagoras đã đi đến Ai Cập để học toán học, hình học và thiên văn từ các tu sĩ Ai Cập.

Thales đã sử dụng hình học để giải các bài toán như tính chiều cao của kim tự tháp và khoảng cách từ tàu đến bờ. Pythagoras được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý Pythagore, mặc dù phát biểu của định lý này đã có từ lâu. Trong lời bình luận về Euclid, Proclus nói rằng Pythagoras đã phát biểu định lý mang tên mình và tạo ra bộ ba Pythagoras theo cách đại số hơn là hình học. Trường học của Plato có câu khẩu hiệu: Không có người thiếu hiểu biết nào được vào đây học hình học.

Học thuyết Pythagoras đã khám phá ra sự tồn tại của số hữu tỉ. Eudoxus (408-khoảng 355 TCN) đã phát minh ra phương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm tích phân hiện đại. Aristotle (384-khoảng 322 TCN) là người đầu tiên viết ra các định luật logic. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu vẫn được sử dụng cho đến ngày nay: định nghĩa, tiên đề, định lý và chứng minh. Ông cũng nghiên cứu về các đường conic. Cuốn sách Cơ bản của ông được tất cả những người có học thức ở phương Tây biết đến cho đến giữa thế kỷ 20. Ngoài các định lý hình học quen thuộc, như định lý Pythagore, Cơ bản cũng chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn số nguyên tố. Rây Eratosthenes (khoảng 230 TCN) được dùng để tìm các số nguyên tố.

Đối với người Hy Lạp, toán học đã vượt ra ngoài ghi chép. Các nhà toán học nổi tiếng đã để lại những định lý và tiên đề có giá trị khái quát cao trong cuộc sống, đặc biệt là đối với toán học.

Một số người cho rằng người vĩ đại nhất trong số các nhà toán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, là Archimedes xứ Syracuse (287-212 TCN). Theo Lucius Mestrius Plutarchus, ở tuổi 75, khi đang vẽ các công thức toán học trên cát, ông đã bị một người lính La Mã giết bằng giáo. Đế chế La Mã cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm đến toán học lý thuyết.

Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 CN)

Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với Shatapatha Brahmana (khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó có gần chính xác số π tới 2 chữ số thập phân[16] và Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) là các văn bản hình học sử dụng số vô tỉ, số nguyên tố, luật ba, và căn bậc ba; tính căn bậc hai của 2 tới năm chữ số thập phân; đưa ra phương pháp cầu phương hình tròn, giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai; phát triển bộ ba Pythagore theo phương pháp đại số, phát biểu và nêu chứng minh cho Định lý Pythagore.

Pāṇini (khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức cho ngữ pháp của tiếng Phạn. Các ký hiệu của ông giống với các ký hiệu toán học, và sử dụng các ngôn luật, các phép biến đổi, đệ qui với độ phức tạp khiến ngữ pháp của ông có sức mạnh tính toán ngang với máy Turing. Công trình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đại về ngữ pháp hình thức (có vai trò quan trọng trong tin học), trong khi dạng Panini-Backus được sử dụng bởi những ngôn ngữ lập trình hiện đại nhất lại rất giống với các luật ngữ pháp của Panini. Pingala (khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất TCN) trong bản luận thuyết của mình về thi pháp đã sử dụng một phương pháp ứng với hệ nhị phân. Những thảo luận của ông về tổ hợp của các nhịp tương ứng với định lý nhị thức. Công trình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản của các số Fibonacci (được gọi là mātrāmeru). Văn bản Brāhmī được phát triển ít nhất từ thời triều Maurya vào thế kỉ 4 TCN, với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy nó xuất hiện vào khoảng 600 TCN. Chữ số Brahmi ở vào khoảng thế kỉ 3 TCN.

Giữa năm 400 TCN và 200 CN, các nhà toán học Jaina bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích duy nhất cho toán học. Họ là những người đầu tiên phát triển các số xuyên hạn, lý thuyết tập hợp, logarit, các định luật cơ bản của lũy thừa, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, dãy số và dãy cấp số, hoán vị và tổ hợp, bình phương và lấy gần đúng căn bậc hai, và hàm mũ hữu hạn và vô hạn. Bản thảo Bakshali được viết giữa 200 TCN và 200 bao gồm phép giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng và cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vô định bậc hai, phương trình không mẫu mực, và sự sử dụng số 0 và số âm. Các phép tính chính xác cho số vô tỉ đã được tìm ra, bao gồm tính căn bậc hai của các số tới bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên).

Toán học Trung Quốc cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN)

Khởi nguồn từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), toán học Trung Quốc sơ khai còn sót lại bao gồm các con số khắc trên mai rùa [17][18]. Các con số này sử dụng hệ cơ số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới) bằng một ký hiệu cho số 1 rồi đến một ký hiệu hàng trăm, sau đó là ký hiệu cho số 2 rồi đến ký hiệu hàng chục, sau đó là số 3. Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới vào thời điểm đó và cho phép tính toán được thực hiện bằng bàn tính. Thời điểm phát minh ra bàn tính không rõ ràng, nhưng tài liệu cổ nhất vào năm 190 trong Lưu ý về Nghệ thuật Hình ảnh do Từ Nhạc viết. Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này.

Tại Trung Quốc, vào năm 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách trong nước. Mặc dù lệnh này không được tuân thủ hoàn toàn, nhưng chúng ta vẫn biết rất ít về toán học Trung Hoa cổ đại.

Từ triều Tây Chu (từ 1046), tác phẩm toán học cổ nhất còn sót lại sau cuộc đốt sách là Kinh Dịch, trong đó sử dụng 64 quẻ 6 hào cho mục đích triết học hay tâm linh. Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm.

Sau cuộc đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 đã biên soạn các tác phẩm về toán học có thể là phát triển dựa trên các tác phẩm mà hiện tại đã mất. Phần quan trọng nhất trong số đó là Cửu chương toán thuật, tiêu đề của nó xuất hiện trước năm 179 CN, nhưng nằm trong các tiêu đề khác có trước đó. Nó bao gồm 264 bài toán chữ, chủ yếu là nông nghiệp, thương nghiệp, ứng dụng của hình học để đo chiều cao và tỷ lệ trong các chùa chiền, công trình, khảo sát, và bao gồm các kiến thức về tam giác vuông và số π. Nó cũng ứng dụng nguyên lý Cavalieri (Nguyên lý Cavalieri) về thể tích sớm hơn hơn một nghìn năm trước khi Cavalieri đề xuất ở phương Tây. Nó đưa ra chứng minh toán học cho Định lý Pythagore và công thức toán học cho phép khử Gauss. Tác phẩm này đã được Lưu Huy (Liu Hui) chú thích vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên.

Ngoài ra, các tác phẩm toán học của nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương Hành (Zhang Heng, 78-139) đã có công thức tính số pi, khác với phép tính của Lưu Huy. Trương Hành sử dụng công thức của mình cho số pi để tính thể tích hình cầu V theo đường kính D.

V = 9/16D3 + 1/16D3 = 5/8D3 Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn được gọi là 'hình vuông kỳ diệu', được mô tả trong các thời kỳ cổ đại và được hoàn chỉnh bởi Dương Huy (1238-1398).

Toán học Trung Quốc cổ đại (khoảng 400-1300)

Tổ Xung Chi (thế kỉ 5) thời Nam Bắc Triều đã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ số thập phân, là con số chính xác nhất thời bấy giờ.

Trong hàng nghìn năm sau thời Hán, từ thời Đường đến thời Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán được giải quyết trước khi được biết đến ở châu Âu. Những phát minh này bao gồm số âm, định lý nhị thức, phương pháp ma trận giải phương trình tuyến tính và định lý đồng dư Trung Quốc.

Số âm đã được đề cập trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN[19] Định lý nhị thức và tam giác Pascal đã được Dương Hối nghiên cứu từ thế kỷ 13 Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thiết lập từ 650 TCN[20] Người Trung Quốc cũng phát triển tam giác Pascal và luật ba rất lâu trước khi nó được biết đến ở châu Âu. Ngoài Tổ Xung Chi, một số nhà toán học nổi tiếng ở Trung Quốc thời này là Nhất Hành, Thẩm Quát, Tần Cửu Thiệu, Chu Thế Khiết, v.v. Nhà khoa học Thẩm Quát vận dụng các bài toán liên quan đến giải tích, lượng giác, khí tượng và hoán vị, tính toán diện tích địa hình phục vụ cho từng trận đánh cụ thể, cũng như thời gian tồn tại lâu nhất của doanh trại với lượng phu có thể mang lương cho chính họ và binh sĩ.

Ngay cả khi toán học châu Âu bắt đầu phát triển rực rỡ trong thời Phục hưng, toán học châu Âu và Trung Quốc vẫn khác biệt, và toán học Trung Quốc suy giảm cho đến khi các nhà truyền giáo Thiên Chúa mang những tư tưởng toán học đến và giữa hai nền văn hóa từ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18.

Toán học cổ điển Ấn Độ (khoảng 400-1600)

Suryasiddhanta (khoảng 400)

• Giới thiệu hàm lượng giác như sin, cos, arcsin.
• Đưa ra luật xác định chuyển động thiên thể chính xác theo vị trí thực tế trên bầu trời.
• Giải thích chu kỳ vũ trụ tương ứng với năm thiên văn có 365,2563627 ngày, chỉ chênh lệch 1,4 giây so với giá trị hiện đại.
• Được dịch sang tiếng Ả Rập và La tinh ở thời Trung Cổ.

Aryabhata (năm 499)

• Giới thiệu hàm versin.
• Đưa ra bảng sin sớm nhất.
• Phát triển kỹ thuật và thuật toán của đại số, vi phân, phương trình vi phân.
• Giải hoàn toàn phương trình tuyến tính bằng phương pháp tương ứng với phương pháp hiện đại.
• Tính giá trị π chính xác đến bốn chữ số thập phân.
• Bản dịch tiếng Ả Rập vào thế kỷ thứ 8 và tiếng La tinh vào thế kỷ thứ 13.

Madhava (thế kỷ thứ 14)

• Tính giá trị π chính xác đến chữ số thập phân thứ 11: 3,14159265359.

Brahmagupta (thế kỷ thứ 7)

• Đưa ra Định lý Brahmagupta, Bản sắc Brahmagupta và Công thức Brahmagupta trong cuốn Brahma-sphuta-siddhanta.
• Giải thích rõ ràng cách sử dụng số 0 như một số giữ chỗ và chữ số thập phân.
• Giải thích hệ số Hindu-Ả Rập.
• Các nhà toán học Hồi giáo tiếp cận hệ số này thông qua bản dịch văn bản tiếng Ấn (khoảng năm 770) và gọi là hệ số Ả Rập.
• Hệ số này được các học giả Hồi giáo mang đến Châu Âu trước thế kỷ thứ 12 và thay thế hoàn toàn các hệ số cũ hơn trên toàn thế giới.

Halayudha (thế kỷ thứ 10)

• Bình luận về công trình của Pingala, bao gồm nghiên cứu về dãy Fibonacci và tam giác Pascal.
• Mô tả hình dạng của ma trận.

Bhaskara (thế kỷ thứ 12)

• Đưa ra ý tưởng đầu tiên về giải tích vi phân, bao gồm khái niệm đạo hàm, hệ số vi phân và phép lấy vi phân.
• Chứng minh Định lý Rolle (một trường hợp đặc biệt của Định lý Giá trị Trung bình).
• Nghiên cứu phương trình Pell.
• Xét đạo hàm của hàm sin.

Trường Kerala (từ thế kỷ thứ 14)

• Madhava và các nhà toán học khác tiếp tục phát triển ý tưởng của Bhaskara.
• Phát triển khái niệm thống kê toán học, số dấu phẩy động.
• Đưa ra các khái niệm cơ bản cho sự phát triển của giải tích hiện đại, bao gồm:
  • Định lý Giá trị Trung bình.
  • Phép tích phân từng phần.
  • Mối quan hệ giữa diện tích dưới đường cong và tích phân của nó.
  • Kiểm tra hội tụ.
  • Phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến.
  • Một số chuỗi vô hạn, chuỗi mũ, chuỗi Taylor và chuỗi lượng giác.

Jyeshtadeva (thế kỷ thứ 16)

• Củng cố thêm các định lý và phát triển của Trường Kerala trong cuốn Yuktibhasa.
• Văn bản đầu tiên trên thế giới về đạo hàm.
• Đưa ra khái niệm tích phân.
• Sự phát triển của toán học ở Ấn Độ chậm lại từ cuối thế kỷ thứ 16 do bất ổn chính trị.

Toán học Ả-Rập và Hồi giáo (khoảng 800-1500)

Đế quốc Hồi giáo Ả-Rập đã thống trị toàn bộ Trung Đông, Trung Á, Bắc Phi, Bán đảo Iberia và một số vùng ở Ấn Độ trong thế kỷ thứ 8, đã tạo ra những đóng góp đáng kể cho toán học. Mặc dù phần lớn các văn bản Hồi giáo được viết bằng tiếng Ả-Rập, nhưng chúng không phải hoàn toàn được người Ả-Rập viết, rất có thể, do vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hy Lạp hóa, tiếng Ả-Rập được sử dụng như ngôn ngữ viết của các học giả không phải người Ả-Rập trong thế giới Hồi giáo thời bấy giờ. Một số nhà toán học Hồi giáo quan trọng nhất là người Ba Tư.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, một nhà toán học và thiên văn học Ba Tư thế kỷ thứ 9, đã viết một số cuốn sách quan trọng về hệ thống số Hindu-Ả-Rập và các phương pháp giải phương trình. Cuốn sách của ông, Về phép tính trong hệ số Hindu, được viết vào khoảng năm 825, cùng với tác phẩm của nhà toán học Ả-Rập Al-Kindi, là những công cụ trong việc phổ biến toán học Ấn Độ và hệ số Hindu-Ả-Rập đến phương Tây. Thuật ngữ thuật toán (algorithm) bắt nguồn từ cách La Mã hóa tên của ông là Algoritmi, và đại số (algebra) bắt nguồn từ tên của một trong những tác phẩm của ông, Al-Kitab al-mukhtaṣar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala (Sách tóm tắt về phép tính thông qua hoàn thiện và cân bằng). Al-Khwarizmi thường được gọi là cha đẻ của đại số, nhờ công lao bảo tồn các phương pháp đại số cổ đại và những đóng góp của ông cho lĩnh vực này.[21] Sự phát triển tiếp theo của đại số được Abu Bakr al-Karaji (953-1029) thực hiện trong chuyên luận của ông, al-Fakhri, trong đó ông đã mở rộng các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết. Vào thế kỷ thứ 10, Abul Wafa đã dịch tác phẩm của Diophantus sang tiếng Ả-Rập và phát triển hàm tang.

Bằng chứng đầu tiên về quy nạp toán học xuất hiện trong một cuốn sách do Al-Karaji viết vào khoảng năm 1000 sau Công nguyên, ông đã sử dụng nó để chứng minh định lý nhị thức, tam giác Pascal và tổng của các số lập phương nguyên.[22] Nhà nghiên cứu lịch sử toán học, F. Woepcke,[23] đã ca ngợi Al-Karaji là người đầu tiên giới thiệu các định lý của phép tính đại số.

Ibn al-Haytham là người đầu tiên đưa ra công thức tính tổng của các lũy thừa bậc bốn bằng phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân.[24]

Omar Khayyam, nhà thơ thế kỷ thứ 12, cũng là một nhà toán học, đã viết Bàn luận về những khó khăn trong sách Cơ sở của Euclid, một cuốn sách về những thiếu sót trong tác phẩm Cơ sở của Euclid, đặc biệt là tiên đề của đường thẳng song song, và do đó ông đã đặt nền móng cho hình học giải tích và hình học phi Euclid. Ông cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm hình học của phương trình bậc ba. Ông cũng có ảnh hưởng lớn trong việc cải cách lịch.

Nasir al-Din Tusi và bảng Ilkhanic

Nhà toán học Ba Tư Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) vào thế kỷ thứ 13 đã tạo ra những bước tiến trong lĩnh vực lượng giác hình cầu. Ông cũng viết các tác phẩm có ảnh hưởng lớn đến tiên đề đường thẳng song song của Euclid.

Vào thế kỷ thứ 15, Ghiyath al-Kashi đã tính giá trị số pi đến chữ số thập phân thứ 16. Kashi cũng có một thuật toán tính căn bậc n, là trường hợp đặc biệt của các phương pháp đã được đưa ra nhiều thế kỷ sau bởi Ruffini và Horner. Các nhà toán học Hồi giáo đáng chú ý khác bao gồm al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil và Abu Sahl al-Kuhi.

Đến thời Đế chế Ottoman (từ thế kỷ thứ 15), sự phát triển của toán học Hồi giáo đã chậm lại. Điều này song hành với sự chậm lại của toán học khi người La Mã chinh phục được thế giới Hy Lạp hóa.

John J. O'Connor và Edmund F. Robertson đã viết trong kho lưu trữ MacTutor History of Mathematics rằng:

Những nghiên cứu gần đây đã vẽ ra một bức tranh mới về những điều chúng ta mắc nợ toán học Hồi giáo. Rõ ràng là rất nhiều ý tưởng được cho là nguồn gốc của toán học châu Âu của thế kỷ XVI, XVII, XVIII đã được các nhà toán học Ả-Rập/Hồi giáo phát triển trước họ bốn thế kỷ. Trong nhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứu ngày nay có phong cách gần hơn so với toán học Hồi giáo hơn là toán học Hy Lạp hóa.

Toán học châu Âu thời Trung cổ (khoảng năm 300 - 1400)

Niềm đam mê toán học của người châu Âu thời Trung cổ xuất phát từ nhiều lý do khác hẳn so với các nhà toán học hiện đại. Một trong những lý do là họ tin rằng toán học là chìa khóa để hiểu được trật tự của tự nhiên, thường được phản ánh trong cuộc đối thoại Timaeus của Plato và chuyến hành trình vĩ đại của Chúa sắp xếp mọi thứ theo kích thước, số lượng và trọng lượng (Sách Khôn ngoan 11:21).

Trung cổ sơ kỳ (khoảng năm 300 - 1100)

Boethius và các học trò

Boethius (480 - 524) đã đưa toán học vào chương trình học khi ông đưa ra khái niệm quadrivium (tiếng Latinh: bốn con đường) chỉ các môn học số học, hình học, thiên văn học và âm nhạc. Ông đã viết De Institutione Arithmetica, tạm dịch từ tiêu đề tiếng Hy Lạp của cuốn Introduction to Arithmetic của Nicomachus; De Institutione Musica, cũng xuất phát từ gốc tiếng Hy Lạp; và một loạt các đoạn trích từ cuốn Cơ sở của Euclid. Các công trình của ông mang tính lý thuyết nhiều hơn là thực hành và là nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán học của Hy Lạp và Ả Rập được phục hồi.

Sự phục hưng toán học ở châu Âu (1100 - 1400)

Fibonacci

Vào thế kỷ 12, các học giả châu Âu đã du hành đến Tây Ban Nha và Sicily để tìm kiếm các văn bản tiếng Ả Rập, trong đó có cuốn Al-Jabr wa-al-Muqabilah của Al-Khwarizmi, được Robert of Chester dịch sang tiếng Latinh và bản đầy đủ của cuốn Cơ sở của Euclid, được Adelard of Bath, Herman of Carinthia và Gerard of Cremona dịch ra nhiều phiên bản.

Những nguồn mới này đã làm bùng nổ sự phục hưng của toán học. Fibonacci, vào đầu thế kỷ 13, đã cho ra đời công trình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thời Eratosthenes, sau hơn một nghìn năm. Thế kỷ 14 đã chứng kiến sự phát triển của các khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt các bài toán.

Một lĩnh vực quan trọng góp phần vào sự phát triển của toán học là phân tích các chuyển động cục bộ.

**Thomas Bradwardine đã đưa ra giả thuyết rằng vận tốc (V) tăng theo tỷ số số học khi tỷ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ. Bradwardine đã thể hiện điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù logarit vẫn chưa ra đời vào thời đó, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R). Phân tích của Bradwardine là một ví dụ về việc chuyển đổi kỹ thuật toán học được sử dụng bởi al-Kindi và Arnald of Villanova để xác định bản chất định tính của các loại thuốc thành một bài toán vật lý khác.

Là một thành viên của nhóm Oxford Calculators vào thế kỷ 14, William Heytesbury, không có phép tính vi phân và khái niệm giới hạn, đã đưa ra cách đo vận tốc tức thời bằng con đường mà một vật thể có thể mô tả nếu... nó di chuyển với cùng một tốc độ mà nó di chuyển tại thời điểm đã cho.

Heytesbury và những người khác đã định nghĩa bằng toán học quãng đường đi được của một vật thể chuyển động có gia tốc không đổi (có thể dễ dàng giải quyết bằng phép tính tích phân), nói rằng một vật thể chuyển động nhận gia tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một khoảng thời gian nhất định một quãng đường bằng đúng quãng đường mà nó sẽ đi được nếu nó chuyển động liên tục cùng khoảng thời gian đó với tốc độ trung bình.

Nicole Oresme

Oresme đã đi trước Galileo trong việc nghiên cứu phép tính tích phân

Nicole Oresme tại Đại học Paris và Giovanni di Casali, người Ý, đã độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thị của mối quan hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường đi được. Trong một bài bình luận sau đó về cuốn Hình học của Euclid, Oresme đã đưa ra một phân tích tổng quát chi tiết, trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kỳ tính chất nào tăng như số lẻ. Do Euclid đã chứng minh rằng tổng của các số lẻ là các số chính phương, nên tổng các tính chất đạt được bởi vật thể sẽ tăng theo bình phương thời gian.

Toán học ở buổi bình minh của thời kỳ Phục hưng châu Âu

Vào thời đại Phục hưng ở châu Âu, toán học vẫn còn trong giai đoạn sơ khai, với hệ thống chữ số La Mã cồng kềnh và biểu đạt các mối quan hệ bằng ngôn ngữ hơn là bằng ký hiệu, không có phép cộng, phép bằng hoặc x là đại lượng chưa biết.

Vào thế kỷ 16, các nhà toán học châu Âu bắt đầu có những tiến bộ riêng mà không có ảnh hưởng từ các nền văn minh khác trên thế giới, như chúng ta biết ngày nay. Tiến bộ đầu tiên là nghiệm tổng quát của phương trình bậc ba, thường được công nhận là của Scipione del Ferro vào khoảng năm 1510, nhưng được xuất bản lần đầu bởi Johannes Petreius ở Nürnberg trong cuốn Ars magna của Gerolamo Cardano, cuốn sách cũng có nghiệm tổng quát của phương trình bậc bốn của học trò Cardano là Lodovico Ferrari.

Kể từ thời điểm đó, toán học đã phát triển nhanh chóng, bổ sung và hưởng lợi từ những tiến bộ của vật lý học cùng thời. Quá trình này càng được thúc đẩy bởi công nghệ in ấn. Cuốn sách toán học được in sớm nhất là Theoricae nova planetarum của G. v. Peuerbach vào năm 1472, tiếp theo là cuốn sách số học thương mại Treviso Arithmetic năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của Euclid, Các nguyên lý được Ratdolt in và xuất bản năm 1482.

Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và bản đồ chính xác cho những vùng đất rộng lớn, lượng giác đã phát triển thành một nhánh lớn của toán học. Bartholomaeus Pitiscus là người đầu tiên sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) trong cuốn sách cùng tên của ông vào năm 1595. Bảng sin và cosin của Regiomontanus được xuất bản vào năm 1533.

Đến cuối thế kỷ, nhờ Johannes Müller von Königsberg (1436-1476) và François Viète (1540-1603), cùng những người khác, toán học đã được viết bằng hệ chữ số Ấn-Ả Rập và theo một dạng gần giống với các ký hiệu được sử dụng ngày nay.

Thế kỷ 17

Thế kỷ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của những tư tưởng khoa học và toán học khắp châu Âu.

Galileo, một người Ý, đã quan sát các vệ tinh của sao Mộc quay quanh hành tinh này, sử dụng kính thiên văn dựa trên một đồ chơi nhập từ Hà Lan.

Mô tả của Tycho về quỹ đạo của Mặt trăng, Mặt trời và các hành tinh Tycho Brahe, ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn dữ liệu toán học mô tả vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học trò của ông, nhà toán học người Đức Johannes Kepler, bắt đầu làm việc với các dữ liệu này. Một phần vì muốn giúp Kepler trong phép tính, John Napier, ở Scotland, là người đầu tiên nghiên cứu về logarit tự nhiên. Kepler thành công trong việc lập công thức toán học các định luật về chuyển động của các hành tinh. Hình học giải tích được phát triển bởi René Descartes (1596-1650), một nhà toán học và triết học người Pháp, đã cho phép vẽ các quỹ đạo này trên đồ thị, trong hệ toạ độ Descartes. Dựa trên các công trình tiên phong của rất nhiều nhà toán học, Isaac Newton, người Anh, đã khám phá ra các định luật vật lý giải thích định luật Kepler và cùng đưa ra khái niệm mà ngày nay chúng ta gọi là giải tích. Hoàn toàn độc lập, Gottfried Wilhelm Leibniz, ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều ký hiệu giải tích vẫn được sử dụng cho đến ngày nay. Khoa học và toán học đã trở thành nỗ lực hợp tác quốc tế, nhanh chóng lan rộng ra toàn thế giới.[37]

Ngoài việc ứng dụng toán học vào thần học, toán học ứng dụng bắt đầu mở rộng sang các lĩnh vực mới khác, với các bức thư trao đổi giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal. Pascal và Fermat đã đặt nền móng cho nghiên cứu về lý thuyết xác suất và các định luật tổ hợp tương ứng trong các cuộc thảo luận của họ về trò chơi cờ bạc. Pascal, với Pascal's Wager, đã cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất mới của mình để phản biện về một cuộc sống theo đạo, cho rằng dù xác suất thành công nhỏ đến mức nào thì lợi ích vẫn là vô cùng. Trong bối cảnh này, đã báo trước sự phát triển của lý thuyết tiện ích vào nửa sau của thế kỷ 18-19.

Thế kỉ 18

Như ta đã biết, con người đã hiểu về các số tự nhiên 1, 2, 3,... từ trước khi có bất kỳ văn bản viết nào. Các nền văn minh sớm nhất - ở Lưỡng Hà, Ai Cập, Ấn Độ và Trung Quốc - đều đã biết đến toán học.

Một cách để xem xét sự phát triển của rất nhiều hệ toán học hiện đại khác nhau là xem các hệ mới được nghiên cứu để trả lời các câu hỏi về số học của các hệ cũ hơn. Trong thời tiền sử, phân số được phát triển để trả lời câu hỏi: số nào, khi nhân với 3, thì được kết quả là 1. Ở Ấn Độ và Trung Quốc, và rất lâu sau ở Đức, các số âm được phát triển đề trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi lấy một số nhỏ trừ đi số lớn. Việc phát minh ra số không có thể là để trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi trừ một số cho chính nó.

Một câu hỏi tự nhiên khác là: căn bậc hai của số hai là kiểu số gì? Người Hy Lạp đã biết rằng nó không phải một phân số, và câu hỏi này đã đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển liên phân số. Nhưng một câu trả lời tốt hơn xuất hiện cùng với sự phát minh ra chữ số thập phân, phát triển bởi John Napier (1550-1617) và được hoàn chỉnh sau đó bởi Simon Stevin. Sử dụng các chữ số thập phân, và một ý tưởng mà tiên đoán trước được khái niệm về giới hạn, Napier cũng đã nghiên cứu một hằng số mới, mà Leonhard Euler (1707-1783) đã đặt tên là số e.[38]

Euler có rất nhiều ảnh hưởng tới việc chuẩn hóa các kí hiệu và thuật ngữ toán học. Ông đã đặt tên căn bậc hai của âm một bằng kí hiệu i. Ông cũng phổ biến việc sử dụng chữ cái Hy Lạp \pi để chỉ tỉ số của chu vi một đường tròn đối với đường kính của nó. Sau đó ông còn phát triển thêm một trong những công thức đáng chú ý nhất của toán học: $$e^{i \pi} +1 = 0 \,.$$

Thế kỷ 19

Trong suốt thế kỷ 19, toán học phát triển mạnh mẽ về tính trừu tượng. Trong thời kỳ này, đã xuất hiện một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Bên cạnh nhiều đóng góp cho khoa học, ông đã tạo nên những công trình mang tính cách mạng trong toán học lý thuyết về hàm số biến phức trong hình học và sự hội tụ của các chuỗi. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên cho định lý cơ bản của đại số và luật tương hỗ bậc hai.

Thế kỷ này chứng kiến sự phát triển của hai dạng hình học phi Euclid, trong đó tiên đề về đường thẳng song song của hình học Euclid không còn đúng nữa. Trong hình học Euclid, đối với một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó, chỉ có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đó mà thôi.

Nhà toán học người Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky và đối thủ của ông, nhà toán học người Hungary Janos Bolyai, độc lập với nhau đã sáng lập ra hình học hyperbolic, trong đó tính duy nhất của các đường thẳng song song không còn đúng nữa, mà qua một điểm ngoài đường thẳng có thể kẻ được vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Trong hình học này, tổng các góc của một tam giác có thể nhỏ hơn 180°.

Hình học Elliptic đã được phát triển sau đó vào thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Đức Bernhard Riemann; theo đó không thể tìm thấy đường thẳng song song và tổng các góc của một tam giác có thể lớn hơn 180°. Riemann cũng phát triển hình học Riemann, trong đó hợp nhất và tổng quát hóa cả ba loại hình học ở mức độ cao, và ông đã định nghĩa khái niệm đa tạp, tổng quát hóa khái niệm về đường và mặt. Các khái niệm này rất quan trọng trong Thuyết tương đối của Albert Einstein.

Cũng trong thế kỷ 19, William Rowan Hamilton đã phát triển đại số không giao hoán, nền tảng của lý thuyết vành.

Ngoài những hướng đi mới trong toán học, các nền toán học cũ hơn đã được đưa vào nền tảng logic mạnh hơn, đặc biệt là trong trường hợp của giải tích với các công trình của Augustin Louis Cauchy và Karl Weierstrass.

Một dạng đại số mới đã được phát triển vào thế kỷ 19 gọi là Đại số Boole, được nhà toán học người Anh George Boole phát minh. Đây là hệ chỉ gồm các số 0 và 1, một hệ mà ngày nay có những ứng dụng quan trọng trong khoa học máy tính.

Lần đầu tiên, các giới hạn của toán học đã được khám phá. Niels Henrik Abel, một người Na Uy, và Évariste Galois, một người Pháp, đã chứng minh được rằng không có phương pháp đại số nào để giải các phương trình đại số với bậc lớn hơn bốn. Các nhà toán học thế kỷ 19 khác đã áp dụng kết quả này trong chứng minh của họ rằng thước kẻ và compa không đủ để chia ba một góc, dựng cạnh của một hình lập phương mà thể tích của nó gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước, hay dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước (còn gọi là phép cầu phương hình tròn). Các nhà toán học đã tốn công vô ích để giải quyết tất cả các bài toán này từ thời Hy Lạp cổ đại.

Nghiên cứu của Abel và Galois về nghiệm của rất nhiều loại phương trình đa thức khác nhau đã đặt nền móng cho những phát triển sâu hơn về lý thuyết nhóm và các lĩnh vực liên quan của đại số trừu tượng. Trong thế kỷ 20, các nhà vật lý và các nhà khoa học khác đã sử dụng lý thuyết nhóm như một cách lý tưởng để nghiên cứu tính đối xứng.

Thế kỷ 19 cũng chứng kiến sự thành lập của các hội toán học đầu tiên: Hội toán học London vào năm 1865, Hội toán học Pháp vào năm 1872, Hội toán học Palermo vào năm 1884, Hội toán học Edinburgh vào năm 1864 và Hội toán học Mỹ vào năm 1888.

Trước thế kỷ 20, có rất ít các nhà toán học thực sự sáng tạo trên thế giới ở bất kỳ thời điểm nào. Phần lớn là do các nhà toán học hoặc được sinh ra trong gia đình giàu có, như Napier, hoặc được hậu thuẫn bởi các nhân vật giàu có, như Gauss. Có rất ít người sẵn sàng chấp nhận cuộc sống nghèo khó khi dạy học ở trường đại học, như Fourier. Niels Henrik Abel, không thể tìm được vị trí nào, đã chết với tài sản là sự suy dinh dưỡng.

Thế kỉ 20

Trong thế kỷ 20, tính chuyên nghiệp của các nhà toán học trở nên ngày càng quan trọng. Hàng năm, hàng trăm tấm bằng tiến sĩ toán học được trao, và các nhà toán học được tuyển dụng vào nhiều ngành nghề khác nhau trong lĩnh vực giảng dạy và công nghiệp. Việc phát triển toán học diễn ra với tốc độ chóng mặt, với quá nhiều tiến bộ mới trong các lĩnh vực khảo sát thậm chí còn ảnh hưởng đến hầu hết những lĩnh vực cốt lõi nhất.

Vào năm 1900, David Hilbert đã công bố danh sách 23 bài toán chưa có lời giải tại Đại hội các nhà toán học quốc tế. Danh sách này bao gồm nhiều lĩnh vực toán học và thu hút sự chú ý đặc biệt trong suốt thế kỷ 20. Đến nay, mười bài toán đã được giải, bảy bài toán đã được giải một phần và còn hai bài toán vẫn chưa có lời giải. Bốn bài toán còn lại quá mơ hồ để khẳng định liệu đã được giải chưa. Hilbert cũng đóng góp vào quá trình tiên đề hóa hình học thông qua cuốn "Grundlagen der Geometrie" (Nền tảng của hình học) gồm 21 tiên đề, bổ sung cho các tiên đề Euclide truyền thống. Các tiên đề này tránh được những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclide, mà vào thời điểm đó, tác phẩm của ông vẫn được sử dụng làm sách giáo khoa. Ông hy vọng có thể hệ thống hóa toán học trên một nền tảng lôgic chắc chắn và đầy đủ, với niềm tin rằng:

Tất cả các vấn đề toán học đều có thể suy ra từ một hệ tiên đề hữu hạn được lựa chọn đúng đắn. Một hệ tiên đề như vậy có thể chứng minh được tính nhất quán (tính không mâu thuẫn) của chính nó. Hilbert cũng đưa ra khái niệm không gian Hilbert, một cơ sở cho giải tích hàm.

Vào những năm 1930, Kurt Gödel đã đưa ra định lý bất toàn, khẳng định rằng bất kỳ hệ tiên đề hình thức độc lập nào đủ mạnh để mô tả số học đều bao gồm những mệnh đề không thể khẳng định cũng không thể phủ định; tính nhất quán của một hệ tiên đề không thể được chứng minh bên trong chính hệ đó. Mở rộng ra, không thể tìm ra chân lý của toán học (và của khoa học nói chung) bên trong cấu trúc lôgic của chính toán học hoặc khoa học đó; sự đúng đắn của toán học phải được tìm kiếm bên ngoài toán học.

Trong những năm 1900, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) đã phát triển hơn 3000 định lý, bao gồm lý thuyết về tính chất của các số siêu hợp, hàm phân chia và các tiệm cận của hàm này, sau đó là các hàm theta Ramanujan. Ông cũng đạt được những đột phá và khám phá trong lĩnh vực hàm gamma, dạng mô đun, chuỗi phân kỳ, chuỗi siêu hình học và lý thuyết số nguyên tố.

Năm 1947, tác phẩm "Cơ sở phân tích kinh tế" của Paul Samuelson được xuất bản và được coi là khởi đầu của nền kinh tế toán học hiện đại.

Năm 1952, Sir John Anthony Pople (31/10/1925-15/3/2004), nhà hóa học người Anh tại Đại học Cambridge đã áp dụng toán học vào hóa học, xây dựng công thức cho một sơ đồ cơ bản để phát triển các mô hình toán học phục vụ nghiên cứu phân tử mà không cần tiến hành thí nghiệm. Ông đã sử dụng máy tính để kiểm tra và xác định cấu trúc hóa học cũng như các chi tiết của vật chất. Walter Kohn người Áo (9/3/1923-?), làm việc tại Đại học Santa Barbara (Mỹ) đã nghiên cứu lý thuyết về mật độ, đã đơn giản hóa mô tả toán học về sự liên kết giữa các nguyên tử tạo nên phân tử.

Vào những năm 1960-1970 của thế kỷ 20, phương pháp giảng dạy toán học đã bắt đầu áp dụng các phương pháp mới, trong đó việc học toán bắt đầu từ những kiến thức cơ sở như lý thuyết tập hợp, lôgic sơ cấp, hệ thống số và hệ thống đếm, số học đồng nhất mô đun.

Các giả thuyết nổi tiếng trước đây đã tạo ra các kỹ thuật mới và mạnh mẽ. Wolfgang Haken và Kenneth Appel đã sử dụng máy tính để chứng minh định lý bốn màu vào năm 1976.

Andrew Wiles, làm việc một mình trong phòng làm việc trong nhiều năm, cuối cùng đã chứng minh được định lý lớn của Fermat vào năm 1995, chấm dứt hơn 300 năm tìm kiếm lời giải.

Toàn bộ các lĩnh vực mới của toán học như lôgic toán, tô pô học, lý thuyết độ phức tạp và lý thuyết trò chơi đã thay đổi các loại câu hỏi mà các phương pháp toán học có thể trả lời.

Nhóm Bourbaki của Pháp đã cố gắng thống nhất toàn bộ toán học, được xuất bản dưới bút danh Nicolas Bourbaki. Công trình đồ sộ của họ đã gây ra nhiều tranh cãi trong giáo dục toán học.

Vào cuối thế kỷ, toán học thậm chí đã thâm nhập vào nghệ thuật, khi hình học fractal tạo ra những hình dạng đẹp chưa từng thấy.

Thế kỷ 21

Vào buổi bình minh của thế kỷ XXI, rất nhiều nhà giáo dục đã bày tỏ quan ngại về một tầng lớp người nghèo, không được học hành về toán học và khoa học[42][43]. Trong khi đó toán học, khoa học, công trình sư và công nghệ đã cùng nhau tạo nên những tri thức, kết nối, và tài sản mà các triết gia cổ đại không dám mơ đến.

Dương Quốc Việt, một nhà toán học Việt Nam đã giải quyết được ba vấn đề mở của lý thuyết vành no Cohen-Macanlay và Gorenstein, hoàn thành việc quy bội trộn về bội Hilbert Samuel, vấn đề về bội của vành no của Fiber Cone, tính chất Cohen - Macanlay của Fiber Cone

Năm 2005, Peter David Lax (1/5/1926, Viện Khoa học Toán Courant, Đại học New York) đã nghiên cứu thành công lý thuyết và ứng dụng của phương trình vi phân riêng phần cũng như tính toán nghiệm của chúng.

Vào giữa tháng 3 năm 2007, một đội các nhà nghiên cứu khắp Bắc Mỹ và Châu Âu đã sử dụng các mạng máy tính để vẽ sơ đồ E8 thuộc nhóm Lie. Mặc dù ta chưa thể biết chính xác việc này có ứng dụng gì, nhưng khám phá này đánh dấu một mốc quan trọng về cả tinh thần hợp tác và công nghệ máy tính trong toán học hiện đại, khi xây dựng mô hình vật thể phức tạp nhất mà con người từng biết đến với 248 chiều, với dung lượng lưu trữ lớn hơn cả bộ gen con người.

Những vấn đề toán học còn chờ đợi trong tương lai

Bảy bài toán thiên niên kỷ Ngày 24 tháng 5 năm 2000, Viện Toán học Clay công bố danh sách bảy bài toán chưa giải được với giải thưởng cho việc giải quyết mấu chốt trong việc giải mỗi bài là 1 triệu đô la Mỹ:

• Giả thuyết Poincaré
• Bài toán P=NP
• Giả thuyết Hodge
• Phương trình Navier-Stokes
• Giả thuyết Riemann
• Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer
• Lý thuyết Yang-Mills

Các bài toán của Hilbert

23 bài toán do nhà toán học người Đức David Hilbert nêu ra trong Hội nghị quốc tế về toán học lần thứ hai năm 1900 tại Paris, trong đó một số bài đã được giải quyết trong thế kỷ 20.

Hình học và đại số

Nền văn minh phát triển, các nhà toán học bắt đầu làm việc với hình học. Tính toán các khu vực và khối lượng để thực hiện các phép đo góc và có nhiều ứng dụng thực tế. Hình học được sử dụng trong tất cả mọi thứ từ xây dựng nhà để thiết kế thời trang và nội thất.

Hình học đi đôi với đại số. Hình học được ra đời vào thế kỷ thứ 9. Đó là nhà toán học Ba Tư, Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi. Ông cũng phát triển phương pháp nhanh chóng để nhân và lặn số, được gọi là thuật toán.

Nghiên cứu về đại số có nghĩa là các nhà toán học đã giải các phương trình tuyến tính và hệ thống. Cũng như quadratics, và delving vào các giải pháp tích cực và tiêu cực. Các nhà toán học trong thời cổ đại cũng bắt đầu nhìn vào lý thuyết số. Với nguồn gốc trong việc xây dựng hình dạng, lý thuyết số nhìn vào các con số chính xác, đặc tính của các con số và các định lý.

Toán học đã phát triển rực rỡ ở Hy Lạp

Văn minh Hy Lạp là nền văn minh đầu tiên nghiên cứu Toán học. Điều này bắt đầu từ việc tính toán khối lượng trong các công trình xây dựng. Và toán học trừu tượng bắt đầu phát triển thông qua hình học. Những kiến trúc xây dựng phức tạp và đáng kinh ngạc là minh chứng cho sự phát triển rực rỡ của toán học Hy Lạp. Đây cũng là những mô hình thành tựu toán học cho đến thời hiện đại.

Toán học ở Hy Lạp được chia thành nhiều trường phái riêng:

Trường Ionian

Được thành lập bởi Thales (Ta-lét). Thales được coi là một nhà triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại, là “cha đẻ của khoa học”. Tên của ông được dùng để đặt cho một định lý toán học do ông phát hiện ra. Ông cũng là người đưa ra các bằng chứng suy luận đầu tiên và phát triển 5 định lý cơ bản trong hình học phẳng.

​Thales – Người đầu tiên áp dụng toán học đo chiều cao kim tự tháp Ai Cập

Trường Pythagore

Được thành lập bởi Pythagoras. Ông được biết đến là một nhà khoa học và toán học vĩ đại. gười đã nghiên cứu tỷ lệ hình học, mặt phẳng và hình học vững chắc, và lý thuyết số. Trong tiếng Việt, tên của ông thường được phiên âm từ tiếng Pháp (Pythagore) thành Pi-ta-go. Pythagoras đã thành công trong việc chứng minh tổng 3 góc của một tam giác bằng 180° và nổi tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ông. Ông cũng được biết đến là “cha đẻ của số học”.

Pi-ta-go đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ 7 TCN. Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến toán học. Mọi sự việc đều có thể tiên đoán trước qua các chu kỳ.

​Pitago nhà toán học nối tiếng người Hy Lạp.

Trường phái Sophistique

Được ghi nhận với vai trò cung cấp giáo dục đại học tại các đô thị Hy Lạp hưng thịnh. Các nhà ngụy biện đã đưa ra hướng dẫn tranh luận công khai thông qua phương pháp lập luận trừu tượng.

Trường phái Platonic

Trường phái được thành lập bởi Plato, triết gia khuyến khích nghiên cứu toán học trong bầu không khí như trường đại học hiện đại.

Platon - Triết gia và nhà toán học nổi tiếng

Trường phái Eudoxus

Trường phái được thành lập bởi Eudoxus, người phát triển lý thuyết về tỉ lệ và đại lượng, tạo ra nhiều định lý về hình học phẳng.

Trường phái Aristotele

Còn được gọi là Lyceum, được thành lập bởi Aristotle, học trò của trường phái Platonic.

Ngoài những nhà toán học Hy Lạp nêu trên. Có một số người Hy Lạp đã ghi dấu ấn sâu đậm vào lịch sử toán học. Trong số đó có Archimedes, Apollonius, Diophantus, Pappus và Euclid.

Lượng giác

Trong thời kỳ này, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu về lượng giác. Lượng giác yêu cầu đo lường các góc và tính toán các hàm lượng giác, bao gồm sin, cosin, tan và nghịch đảo của chúng. Lượng giác dựa trên hình học tổng quát do các nhà toán học Hy Lạp như Euclid phát triển. Ví dụ, định lý Ptolemy cung cấp các quy tắc cho phép tổng hợp và giá trị hiệu của các góc, tương ứng với các công thức tổng và hiệu của sin và cosin. Trong các nền văn minh cổ đại, lượng giác đã được ứng dụng trong thiên văn học và tính toán các góc trong bầu trời.

Sau khi Đế chế La Mã sụp đổ, người Ả Rập và sau đó là người châu Âu đã tiếp tục sự phát triển của toán học. Fibonacci là một trong những nhà toán học châu Âu đầu tiên nổi tiếng với các lý thuyết về số học, đại số và hình học. Thời kỳ Phục hưng đã chứng kiến sự phát triển của phân số thập phân, logarit và hình học phép chiếu. Lý thuyết số được mở rộng đáng kể, và các lý thuyết mới như xác suất và hình học giải tích đã mở ra một kỷ nguyên mới cho toán học.

Sự phát triển phép tính

Vào thế kỷ 17, Isaac Newton và Gottfried Leibniz đã độc lập phát triển nền tảng tính toán. Phát triển phép tính trải qua ba giai đoạn: tiên đoán, phát triển và chặt chẽ. Giai đoạn tiên đoán, các nhà toán học cố gắng sử dụng các kỹ thuật liên quan đến quá trình vô hạn để tìm diện tích theo đường cong hoặc cực đại hóa một số phẩm chất nhất định.

Giai đoạn phát triển, Newton và Leibniz kết hợp các kỹ thuật này với nhau qua phép đạo hàm và tích phân. Mặc dù phương pháp của họ không phải lúc nào cũng hợp lý, họ có thể hợp lý chúng và thiết lập giai đoạn cuối cùng của phép tính.

Toán học rời rạc

Trái ngược với phép tính, là một dạng toán liên tục, các nhà toán học khác đã đưa ra một cách tiếp cận mang tính lý thuyết hơn. Toán học rời rạc là nhánh của toán học liên quan đến các đối tượng chỉ có thể nhận giá trị riêng biệt, không liên tục. Các đối tượng rời rạc có thể được đặc trưng bằng các số nguyên, trong khi các đối tượng liên tục yêu cầu các số thực. Toán rời rạc là ngôn ngữ toán học của khoa học máy tính, bao gồm cả việc nghiên cứu các thuật toán. Các lĩnh vực của toán học rời rạc bao gồm tổ hợp, lý thuyết đồ thị và lý thuyết tính toán.

Toán học ứng dụng

Trong thế giới hiện đại, toán học ứng dụng không chỉ liên quan mà còn quan trọng. Toán học ứng dụng là các ngành liên quan đến nghiên cứu về thế giới vật lý, sinh học hoặc xã hội học. Ý tưởng của toán ứng dụng là tạo ra một nhóm các phương pháp để giải quyết các vấn đề trong khoa học.

Các lĩnh vực toán học ứng dụng hiện đại bao gồm vật lý toán học, sinh học toán học, lý thuyết điều khiển, kỹ thuật hàng không vũ trụ và tài chính toán học. Toán học ứng dụng không chỉ giải quyết các vấn đề mà còn khám phá ra các vấn đề mới hoặc phát triển các ngành công nghệ mới.

Toán học thuần túy

Toán học thuần túy được thúc đẩy bởi các vấn đề trừu tượng, chứ không phải các vấn đề thực tế. Phần lớn những gì các nhà toán học thuần túy theo đuổi có thể bắt nguồn từ các vấn đề vật lý cụ thể. Nhưng hiểu biết sâu hơn về các hiện tượng này lại đưa ra các vấn đề và kỹ thuật mới.

Các vấn đề và kỹ thuật trừu tượng là những gì toán học thuần túy cố gắng giải quyết. Những nỗ lực này đã dẫn đến những khám phá vĩ đại cho nhân loại, bao gồm cả máy tính Turing phổ quát, do Alan Turing đưa ra lý thuyết vào năm 1937. Universal Turing Machine, bắt đầu như một ý tưởng trừu tượng, sau này đã đặt nền tảng cho sự phát triển máy tính hiện đại. Toán học thuần túy là trừu tượng và dựa trên lý thuyết, không bị giới hạn bởi những hạn chế của thế giới vật chất.