các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn

Tài liệu này, trích từ cuốn sách “Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp” của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, là một nguồn tài liệu hữu ích dành cho học sinh THCS đang ôn luyện để tham gia các kỳ thi học sinh giỏi Toán hoặc chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán. Tài liệu tập trung vào việc hướng dẫn giải các bài toán bằng phương pháp Nguyên lý Cực hạn, một công cụ quan trọng trong việc tiếp cận và giải quyết nhiều dạng bài toán phức tạp.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Nguyên lý Cực hạn.

Nguyên lý Cực hạn là một nguyên tắc cơ bản trong toán học, được trình bày trong tài liệu dưới hai dạng chính:

1. Nguyên lý 1: Trong một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực, luôn tồn tại một phần tử nhỏ nhất và một phần tử lớn nhất.
2. Nguyên lý 2: Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên, luôn tồn tại một phần tử nhỏ nhất.

Tài liệu nhấn mạnh rằng, việc nắm vững nguyên lý này cho phép học sinh tập trung vào việc xét các phần tử có giá trị cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một đại lượng nào đó trong một tập hợp cho trước. Điều này có thể được áp dụng trong nhiều tình huống khác nhau, ví dụ:

• Xác định đoạn thẳng dài nhất hoặc ngắn nhất trong một tập hợp hữu hạn các đoạn thẳng.
• Tìm góc lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một tập hợp hữu hạn các góc.
• Xác định đa giác có diện tích hoặc chu vi lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một tập hợp hữu hạn các đa giác.
• Tìm khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất giữa các điểm hoặc từ một điểm đến một đường thẳng.
• Xác định các điểm cực trái hoặc cực phải trên một đoạn thẳng.

Đặc biệt, tài liệu chỉ ra rằng Nguyên lý Cực hạn thường được sử dụng hiệu quả kết hợp với phương pháp phản chứng, đặc biệt khi làm việc với các tập hợp hữu hạn hoặc các tập hợp vô hạn có phần tử cực trị.

2. Các bước áp dụng Nguyên lý Cực hạn khi giải toán.

Tài liệu trình bày rõ ràng quy trình áp dụng Nguyên lý Cực hạn trong giải toán, bao gồm ba bước chính:

1. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong tập hợp các giá trị cần khảo sát.
2. Bước 2: Xét bài toán trong trường hợp đặc biệt khi đại lượng đó đạt giá trị cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất).
3. Bước 3: Chỉ ra một mâu thuẫn hoặc một giá trị khác tốt hơn (nhỏ hơn nếu đang xét giá trị lớn nhất, hoặc lớn hơn nếu đang xét giá trị nhỏ nhất) so với giá trị đang khảo sát.

Việc thực hiện đầy đủ các bước này, kết hợp với nguyên lý phản chứng, sẽ giúp học sinh đưa ra kết luận chính xác và chứng minh được bài toán.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

C. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu cung cấp một cách tiếp cận rõ ràng và có hệ thống về Nguyên lý Cực hạn. Việc trình bày dưới dạng các bước cụ thể giúp học sinh dễ dàng nắm bắt và áp dụng phương pháp này vào giải toán. Việc liên kết với phương pháp phản chứng cũng là một điểm mạnh, giúp mở rộng khả năng ứng dụng của Nguyên lý Cực hạn. Tuy nhiên, để tăng tính hiệu quả, tài liệu nên bổ sung thêm nhiều ví dụ minh họa và bài tập vận dụng đa dạng hơn, kèm theo các lời giải chi tiết để học sinh có thể tự học và rèn luyện kỹ năng.