1. Môn Toán
  2. bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số
bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số
Thể Loại: TIPS Giải Toán 12
Ngày đăng: 29/11/2019

bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan đến bài toán tương giao hàm trùng phương trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Cho hàm số trùng phương có dạng: \(y = f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) \((C)\) (điều kiện \(a \ne 0\)).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

\(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) \((1).\)

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), \(\forall x \in R.\)

Phương trình \((1)\) trở thành: \(a{t^2} + bt + c = 0\) \((2).\)

Số giao điểm của đồ thị $(C)$ với trục $Ox$Điều kiệnĐồ thị minh họa
Có bốn giao điểm phân biệtPhương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {b^2} – 4ac /> 0}\\

{ – \frac{b}{a} /> 0,\frac{c}{a} /> 0}

\end{array}} \right.$
bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số
Có ba giao điểm phân biệtPhương trình $(2)$ có một nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{c = 0}\\

{ – \frac{b}{a} /> 0}

\end{array}} \right.$
bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số
Có hai giao điểm phân biệtPhương trình $(2)$ có một nghiệm dương và nghiệm còn lại âm hoặc phương trình $(2)$ có nghiệm kép dương $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

{ac < 0}\\

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\Delta = 0}\\

{ – \frac{b}{{2a}} /> 0}

\end{array}} \right.}

\end{array}} \right.$
bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số

Trong các bài toán về tương giao của hàm trùng phương, chúng ta nên lưu ý dạng phương trình \(a{t^2} + bt + c = 0\) \((2)\) có thể nhẩm được nghiệm khi xác định được mối quan hệ đặc biệt giữa các hệ số \(a\), \(b\), \(c:\)

+ Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình \((2)\) có hai nghiệm là \(t = 1\) và \(t = \frac{c}{a}.\)

+ Nếu \(a – b + c = 0\) thì phương trình \((2)\) có hai nghiệm là \(t = – 1\) và \(t = – \frac{c}{a}.\)

Chú ý: Đồ thị hàm số \(y = f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c\) \((C)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì điều kiện cần là \(9{b^2} = 100ac.\) Sau khi sử dụng điều kiện cần ta sẽ xác định được giá trị của tham số, sau đó cần thay vào phương trình hoành độ giao điểm để kiểm tra xem có đúng \(4\) giao điểm không. Nếu có thì giá trị tham số đó là giá trị thỏa mãn bài toán.

Trong nhiều trường hợp về bài toán tương giao của hàm trùng phương, ta có thể sử dụng phương pháp cô lập theo tham số \(m\) để biện luận số giao điểm bằng bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số trùng phương.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – 2{x^2} + 3 – m\) \((C)\) cắt trục hoành:

a) Tại bốn điểm phân biệt.

b) Tại ba điểm phân biệt.

c) Tại hai điểm phân biệt.

d) Không cắt trục hoành.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} – 2{x^2} + 3 – m = 0\) \((1).\)

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình \((1)\) trở thành: \({t^2} – 2t + 3 – m = 0\) \((2).\)

a) Để \((C)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \( \Leftrightarrow (2)\) có hai nghiệm phân biệt dương \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta ‘ = 1 – (3 – m) /> 0}\\

{\frac{{ – b}}{a} = 2 /> 0}\\

{\frac{c}{a} = 3 – m /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m – 2 /> 0}\\

{3 – m /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 3 /> m /> 2.\)

b) Để \((C)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow (2)\) có một nghiệm bằng \(0\) và nghiệm còn lại dương \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{c = 3 – m = 0}\\

{\frac{{ – b}}{a} = 2 /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = 3.\)

c) Để \((C)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow (2)\) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{1(3 – m) < 0}\\

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{1 – (3 – m) = 0}\\

{ – \frac{b}{{2a}} = 1 /> 0}

\end{array}} \right.}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m /> 3}\\

{m = 2}

\end{array}} \right..\)

d) Để \((C)\) không cắt trục hoành \( \Leftrightarrow (2)\) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều âm.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\Delta ‘ = m – 2 < 0\\

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta ‘ = m – 2 \ge 0}\\

{ – \frac{b}{a} = 2 < 0\:\:{\rm{(loại)}}}\\

{\frac{c}{a} = 3 – m /> 0}

\end{array}} \right.

\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m < 2.\)

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị hàm số: \(f(x) = {x^4} – \left( {1 + 4{m^2}} \right){x^2} + 4{m^2}.\)

a) Cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

b) Cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} – \left( {1 + 4{m^2}} \right){x^2} + 4{m^2} = 0\) \((1).\)

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), ta có phương trình \({t^2} – \left( {1 + 4{m^2}} \right)t + 4{m^2} = 0\) \((2).\)

Nhận xét phương trình có \(a+b+c=0.\)

Do đó phương trình \((2)\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 1}\\

{t = \frac{c}{a} = 4{m^2}}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} = 1}\\

{{x^2} = 4{m^2}}

\end{array}} \right..\)

a) Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 4{m^2} = 1\) \( \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}.\)

b) Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng \( \Rightarrow 4{m^2} \ne 1\) \( \Leftrightarrow m \ne \pm \frac{1}{2}.\)

Giả sử \({t_1} < {t_2}\) là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình \((2)\) thì phương trình \((1)\) có bốn nghiệm sắp thứ tự là:

bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số

Vì \( – \sqrt {{t_2}} \), \( – \sqrt {{t_1}} \), \(\sqrt {{t_1}} \), \(\sqrt {{t_2}} \) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

\(\frac{{\sqrt {{t_1}} + ( – \sqrt {{t_2}} )}}{2} = – \sqrt {{t_1}} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \) \( \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{1 = 9.4{m^2}}\\

{4{m^2} = 9.1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = \pm \frac{1}{6}}\\

{m = \pm \frac{3}{2}}

\end{array}} \right..\)

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = 4m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 8{x^2} + 3\) tại bốn điểm phân biệt?

A. \( – \frac{{13}}{4} < m < \frac{3}{4}.\)

B. \( – \frac{{13}}{4} \le m \le \frac{3}{4}.\)

C. \(m \le \frac{3}{4}.\)

D. \(m \ge – \frac{{13}}{4}.\)

Ta có: \(y’ = 4{x^3} – 16x\), \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = \pm 2}

\end{array}} \right..\)

Bảng biến thiên:

bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số

Từ bảng biến thiên trên, để đường thẳng \(y = 4m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 8{x^2} + 3\) tại bốn điểm phân biệt thì \( – 13 < 4m < 3\) \( \Leftrightarrow – \frac{{13}}{4} < m < \frac{3}{4}.\)

Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là \( – \frac{{13}}{4} < m < \frac{3}{4}.\)

Chọn đáp án A.

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – 2m{x^2} + m + 2\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

A. \((2; + \infty ).\)

B. \((0; + \infty ).\)

C. \(( – 3; + \infty ).\)

D. \(m \in ( – \infty ;1).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

\({x^4} – 2m{x^2} + m + 2 = 0\) \((1).\)

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình trở thành: \({t^2} – 2mt + m + 2 = 0\) \((2).\)

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \( \Leftrightarrow (2)\) có hai nghiệm phân biệt dương.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta ‘ = {m^2} – m – 2 /> 0}\\

{ – \frac{b}{a} /> 0}\\

{\frac{c}{a} /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta ‘ = {m^2} – m – 2 /> 0}\\

{2m /> 0}\\

{m + 2 /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m /> 2}\\

{m < – 1}

\end{array}} \right.}\\

{m /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m /> 2.\)

Chọn đáp án A.

Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [ – 5;15]\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – 2(m + 3){x^2} + m + 2\) cắt \(d:y = – 3\) tại bốn điểm phân biệt.

A. \(15.\)

B. \(16.\)

C. \(20.\)

D. \(21.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng \(d\) là: \({x^4} – 2(m + 3){x^2} + m + 2 = – 3\) \( \Leftrightarrow {x^4} – 2(m + 3){x^2} + m + 5 = 0\) \((1).\)

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình trở thành \({t^2} – 2(m + 3)t + m + 5 = 0\) \((2).\)

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \( \Leftrightarrow (2)\) có hai nghiệm phân biệt dương.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta ‘ = {{(m + 3)}^2} – m – 5 /> 0}\\

{ – \frac{b}{a} /> 0}\\

{\frac{c}{a} /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta ‘ = {m^2} + 5m + 4 /> 0}\\

{m + 3 /> 0}\\

{m + 5 /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m /> – 1}\\

{m < – 4}

\end{array}} \right.}\\

{m /> – 3}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m /> – 1.\)

Mà \(m \in Z\), \(m \in [ – 5;15]\) do đó \(m \in \{ 0;1;2; \ldots ;14;15\} \) có \(16\) giá trị.

Chọn đáp án B.

Bài 4. Tính tổng các giá trị của tham số \(m\) biết \(m /> 0\), sao cho đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – \left( {9{m^2} + 1} \right){x^2} + 9{m^2}\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

A. \(\frac{{10}}{9}\).

B. \(\frac{{82}}{9}\).

C. \(\frac{{19}}{9}\).

D. \(\frac{{37}}{9}\).

Ta có phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành là:

\({x^4} – \left( {9{m^2} + 1} \right){x^2} + 9{m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} – 9{m^2}} \right) = 0.\)

Áp dụng ví dụ 2, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{9{m^2} \ne 1}\\

{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{9{m^2} = 9}\\

{1 = 9.9{m^2}}

\end{array}} \right.}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne \pm \frac{1}{3}}\\

{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = \pm 1}\\

{m = \pm \frac{1}{9}}

\end{array}} \right.}

\end{array}} \right..\)

Mà \(m /> 0\) thì \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = 1}\\

{m = \frac{1}{9}}

\end{array}} \right.\) do đó tổng các giá trị \(m\) cần tìm là \(1 + \frac{1}{9}\) \( = \frac{{10}}{9}.\)

Chọn đáp án A.

Bài 5. Cho \(m\) là tham số thực có điều kiện \(m />1\), biết đường thẳng \(y = m + 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} – (2m + 3){x^2} + 3m + 4\) tại bốn điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) theo thứ tự có hoành độ tăng dần sao cho \({S_{OAD}} = 3{S_{OBC}}.\) Hỏi \(m\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \((2;3).\)

B. \((3;4).\)

C. \((4;5).\)

D. \((5;6).\)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

\({x^4} – (2m + 3){x^2} + 3m + 4 = m + 2\) \( \Leftrightarrow {x^4} – (2m + 3){x^2} + 2m + 2 = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)\left[ {{x^2} – (2m + 2)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} = 1}\\

{{x^2} = 2m + 2}

\end{array}} \right..\)

Vì \(m />1\) nên ta có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \pm 1}\\

{x = \pm \sqrt {2m + 2} }

\end{array}} \right..\) Khi đó \( – \sqrt {2m + 2} < – 1 < 1 < \sqrt {2m + 2} .\)

Suy ra: \(A( – \sqrt {2m + 2} ;m + 2)\), \(B( – 1;m + 2)\), \(C(1;m + 2)\), \(D(\sqrt {2m + 2} ;m + 2).\)

Theo bài ra ta có \({S_{OAD}} = 3{S_{OBC}}\) \( \Leftrightarrow AD = 3BC\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt {2m + 2} = 6\) \( \Leftrightarrow m = \frac{7}{2}.\)

Chọn đáp án B.

Bài 6. Cho \(m\) là tham số thực biết đồ thị hàm số \(y = {x^4} – (m + 4){x^2} + 1\) cắt đường thẳng \(y=-m-2\) tại bốn điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sao cho \(x_A^2 + x_B^2 + x_C^2 + x_D^2 = 12\) khi \(m = {m_0}.\) Tính giá trị biểu thức \(T = m_0^5 + 2{m_0} – 8.\)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^4} – (m + 4){x^2} + 1 = – m – 2\) \( \Leftrightarrow {x^4} – (m + 4){x^2} + m + 3 = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)\left[ {{x^2} – (m + 3)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} = 1}\\

{{x^2} = m + 3}

\end{array}} \right.\) \((1).\)

Để hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m + 3 /> 0}\\

{m + 3 \ne 1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m /> – 3}\\

{m \ne – 2}

\end{array}} \right..\)

Khi đó ta có \((1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \pm 1}\\

{x = \pm \sqrt {m + 3} }

\end{array}} \right..\)

Theo bài ra, ta có bốn giao điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sao cho \(x_A^2 + x_B^2 + x_C^2 + x_D^2 = 14\) \( \Leftrightarrow 1 + 1 + m + 3 + m + 3 = 12\) \( \Leftrightarrow m = 2\) \( \Rightarrow T = 32 + 4 – 8 = 28.\)

Chọn đáp án B.

Bài 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (5m + 2){x^2} + 5m\) cắt đường thẳng \(y = -1\) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn \(2.\)

A. \(\left( { – \frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right)\backslash \{ 0\} \).

B. \(\left( {0;\frac{3}{5}} \right)\).

C. \(\left( { – 1; – \frac{1}{5}} \right)\).

D. \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^4} – (5m + 2){x^2} + 5m = – 1\) \( \Leftrightarrow {x^4} – (5m + 2){x^2} + 5m + 1 = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)\left[ {{x^2} – (5m + 1)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} = 1}\\

{{x^2} = 5m + 1}

\end{array}} \right.\) \((1).\)

Để hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{5m + 1 /> 0}\\

{5m + 1 \ne 1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m /> – \frac{1}{5}}\\

{m \ne 0}

\end{array}} \right..\)

Khi đó \((1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \pm 1}\\

{x = \pm \sqrt {5m + 1} }

\end{array}} \right..\) Theo yêu cầu bài toán, ta có \(\sqrt {5m + 1} < 2.\)

Do \(1\), \( – 1\), \( – \sqrt {5m + 1} \) luôn nhỏ hơn \(2\) \( \Rightarrow 5m + 1 < 4\) \( \Leftrightarrow m < \frac{3}{5}.\)

Vậy \(m \in \left( { – \frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right)\backslash \{ 0\} .\)

Chọn đáp án A.

Bài 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \((-15;15)\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (m + 4){x^2} + 2m\) cắt đường thẳng \(d:y = – 2m\) tại bốn điểm phân biệt sao cho khoảng cách lớn nhất giữa các giao điểm không nhỏ hơn \(6.\)

A. \(29.\)

B. \(7.\)

C. \(5.\)

D. \(6.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị là: \({x^4} – (m + 4){x^2} + 2m = – 2m.\)

\( \Leftrightarrow {x^4} – (m + 4){x^2} + 4m = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} – m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} – 4 = 0}\\

{{x^2} – m = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} = 4}\\

{{x^2} = m}

\end{array}} \right..\)

Để hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m /> 0}\\

{m \ne 4}

\end{array}} \right..\)

Nếu \(4 /> m\) thì ta có \( – 2 < – \sqrt m < \sqrt m < 2.\)

Khi đó bốn giao điểm là \(A( – 2; – 2m)\), \(B( – \sqrt m ; – 2m)\), \(C(\sqrt m ; – 2m)\), \(D(2; – 2m).\)

Khoảng cách lớn nhất giữa các giao điểm là \(AD = 4 < 6\) (loại).

Nếu \(4 < m\) thì ta có \( – \sqrt m < – 2 < 2 < \sqrt m .\)

Khi đó bốn giao điểm là \(A( – \sqrt m ; – 2m)\), \(B( – 2; – 2m)\), \(C(2; – 2m)\), \(D(\sqrt m ; – 2m).\)

Khoảng cách lớn nhất giữa các giao điểm là \(AD = 2\sqrt m /> 6\) \( \Leftrightarrow m /> 9.\)

Mà \(m \in Z\), \(m \in ( – 15;15)\) \( \Rightarrow m \in \{ 10;11;12;13;14\} .\) Có \(5\) giá trị thỏa bài toán.

Chọn đáp án C.

Bài 9. Cho đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} + (1 – 2m){x^2} – 4m\) cắt đường thẳng \(d: y=2\) tại đúng hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({x_1} < {x_2}.\) Biết \(OB = 3\) với \(O\) là gốc tọa độ. Khi đó \(m\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).

B. \(\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

D. \(\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} + (1 – 2m){x^2} – 4m = 2.\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + (1 – 2m){x^2} – 4m – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} – 2m – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = 2m + 1\) \((1).\)

Để hai đồ thị cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 2m + 1 /> 0\) \( \Leftrightarrow m /> – \frac{1}{2}.\)

Khi đó ta có \((1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \sqrt {2m + 1} }\\

{x = \sqrt {2m + 1} }

\end{array}} \right.\), do đó \(A( – \sqrt {2m + 1} ;2)\) và \(B(\sqrt {2m + 1} ;2).\)

Theo bài ra ta có \(OB = 3\) \( \Leftrightarrow {(\sqrt {2m + 1} – 0)^2} + {(2 – 0)^2} = {3^2}.\)

\( \Leftrightarrow 2m + 1 + 4 = 9\) \( \Leftrightarrow m = 2\) (thỏa mãn).

Chọn đáp án D.

Bài 10. Biết đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (m + 2){x^2} + m\) cắt đường thẳng \(y = -1\) tại bốn điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có hoành độ theo thứ tự tăng dần sao cho \({S_{IAD}} = 4\) với \(I(1; – m)\) và \(m /> 0.\) Hỏi \(m\) có giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

A. \((0;2).\)

B. \((2;4).\)

C. \((4;6).\)

D. \((6;8).\)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^4} – (m + 2){x^2} + m = – 1\) \( \Leftrightarrow {x^4} – (m + 2){x^2} + m + 1 = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)\left[ {{x^2} – (m + 1)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} = 1}\\

{{x^2} = m + 1}

\end{array}} \right.\) \((1).\)

Vì \(m /> 0\) \( \Rightarrow m + 1 /> 1.\)

Khi đó \((1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \pm 1}\\

{x = \pm \sqrt {m + 1} }

\end{array}} \right..\) Ta có \( – \sqrt {m + 1} < – 1 < 1 < \sqrt {m + 1} .\)

Suy ra: \(A( – \sqrt {m + 1} ; – 1)\), \(B( – 1; – 1)\), \(C(1; – 1)\), \(D(\sqrt {m + 1} ; – 1).\)

Do đó \({S_{IAD}} = \frac{1}{2}d(I;d).AD\) \( \Leftrightarrow 4 = \frac{1}{2}.|m – 1|.2\sqrt {m + 1} .\)

\( \Leftrightarrow 4 = |m – 1|.\sqrt {m + 1} \) \( \Leftrightarrow m = 3.\)

Chọn đáp án B.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (2m + 3){x^2} + 2m + 2\) cắt trục hoành tại đúng bốn điểm phân biệt.

A. \(\left( { – 1; – \frac{1}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right).\)

B. \(( – 1; + \infty ).\)

C. \(( – 3;0).\)

D. \(( – \infty ; – 1).\)

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – 2(m – 3){x^2} + m – 3\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

A. \((0;4).\)

B. \({(4; + \infty ).}\)

C. \({(3; + \infty )}.\)

D. \({[2; + \infty )}.\)

Bài 3. Biết đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (m + 3){x^2} + 2m + 2\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Khi đó \(m\) có giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

A. \((-6;-3).\)

B. \((0;3).\)

C. \((-3;0).\)

D. \((3;6).\)

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \([-8;8]\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (m + 4){x^2} + 3m + 3\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

A. \(7.\)

B. \(8.\)

C. \(17.\)

D. \(9.\)

Bài 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \((-2;10)\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (2m + 4){x^2} + 6m + 6\) cắt đường thẳng \(d: y=3\) tại bốn điểm phân biệt.

A. \(9.\)

B. \(10.\)

C. \(8.\)

D. \(12.\)

Bài 6. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \((-7;7)\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} – (2m + 1){x^2} + {m^2} + 2m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại bốn điểm phân biệt.

A. \(28.\)

B. \(18.\)

C. \(21.\)

D. \(20.\)

Bài 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \((-10;10)\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} – (2m + 6){x^2} + 6m + 11\) cắt đường thẳng \(d: y = 2\) tại đúng hai điểm phân biệt.

A. \(7.\)

B. \(10.\)

C. \(9.\)

D. \(8.\)

Bài 8. Biết đồ thị hàm số \(y = {x^4} – (3m + 1){x^2} + 2{m^2} + 2m\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó \(m\) có giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {\frac{1}{{16}};\frac{1}{{14}}} \right).\)

B. \(\left( {\frac{1}{{18}};\frac{1}{{16}}} \right).\)

C. \(\left( {\frac{1}{{20}};\frac{1}{{18}}} \right).\)

D. \(\left( {\frac{1}{{14}};\frac{1}{{12}}} \right).\)

Bài 9. Biết đồ thị hàm số \(y = {x^4} – (2m – 3){x^2} + {m^2} – 3m + 4\) cắt đường thẳng \(y=2\) tại bốn điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sao cho \({x_A} < {x_B} < {x_C} < {x_D}\) và \(AB = BC = CD\) khi \(m = \frac{a}{b}\), \(a\), \(b \in N\), \((a;b) = 1.\) Tính tổng \(S=a+b.\)

A. \(S=-23.\)

B. \(S = 6.\)

C. \(S =9.\)

D. \(S = 25.\)

Bài 10. Cho \(m \in R\), \(m /> 1.\) Biết đồ thị hàm số \(y = {x^4} – (m + 5){x^2} + 3m + 8\) cắt đường thẳng \(y=2\) tại bốn điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có \({x_A} < {x_B} < {x_C} < {x_D}\) sao cho \({S_{OAD}} = 6\) với \(O\) là gốc tọa độ khi \(m = {m_0}.\) Tính giá trị biểu thức \({T = 5{m_0} – 3.}\)

A. \(32.\)

B. \(1.\)

C. \(7.\)

D. \(22.\)

V. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. A.

2. B.

3. C.

4. B.

5. A.

6. C.

7. C.

8. B.

9. D.

10. A.

Hình Ảnh Chi Tiết

bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số chất lượng là một công cụ quan trọng trong hệ thống giáo dục hiện đại, được thiết kế với mục tiêu không chỉ nhằm đánh giá kiến thức lý thuyết mà còn để kiểm tra các kỹ năng thực hành và khả năng tư duy phản biện của học sinh ở từng cấp học cụ thể. Trong bối cảnh giáo dục ngày càng phát triển, việc đánh giá một cách toàn diện và khách quan là điều cần thiết để giúp học sinh nắm vững kiến thức, đồng thời phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề, một yếu tố then chốt trong quá trình học tập và trong cuộc sống sau này.

Nội Dung Đề Thi: bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số sẽ bao gồm một loạt các bài toán được phân chia thành nhiều phần khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, nhằm phản ánh đầy đủ các lĩnh vực trong chương trình học toán. Các phần này không chỉ giúp kiểm tra kiến thức mà còn khuyến khích học sinh phát huy sự sáng tạo và khả năng tư duy phản biện.

Các Bài Toán Cơ Bản:

Phần này tập trung vào việc kiểm tra kiến thức cơ bản mà học sinh đã học, như các phép toán số học, định nghĩa hình học, và các khái niệm đại số.

Ví dụ: Học sinh sẽ được yêu cầu giải các bài toán tính toán đơn giản, xác định diện tích và chu vi của các hình cơ bản, hay tìm hiểu các tính chất của các đối tượng hình học.

Các Câu Hỏi Mở:

Đây là phần quan trọng nhằm khuyến khích học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập. Các câu hỏi mở yêu cầu học sinh không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức mà còn phải biết phân tích và tổng hợp thông tin để đưa ra các giải pháp đa dạng.

Ví dụ: Một câu hỏi có thể yêu cầu học sinh mô tả cách họ sẽ giải quyết một vấn đề thực tế sử dụng toán học, hoặc đề xuất cách thức tối ưu hóa một quy trình dựa trên các khái niệm toán học mà họ đã học. Tính Tư Duy Sáng Tạo:

Đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn phải khuyến khích khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Các bài toán được thiết kế để học sinh có thể vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào các tình huống mới, qua đó phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo.

Ví dụ: Học sinh có thể được yêu cầu thiết kế một bài toán mới dựa trên một khái niệm đã học, từ đó trình bày lý do vì sao bài toán này có thể thú vị và hữu ích.

Khả Năng Giải Quyết Vấn Đề:

Một trong những mục tiêu chính của đề thi là đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Học sinh sẽ được yêu cầu không chỉ tìm ra đáp án đúng mà còn phải trình bày rõ ràng quy trình và logic đã sử dụng để đến được kết quả đó.

Ví dụ: Bài toán có thể yêu cầu học sinh đưa ra các bước giải quyết một bài toán thực tiễn, từ việc phân tích vấn đề đến việc tìm ra giải pháp khả thi.

Kết Luận:

bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số chất lượng là một công cụ quan trọng giúp giáo viên và học sinh đánh giá và cải thiện năng lực toán học. Qua các bài toán đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, từ lý thuyết đến thực tiễn, đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn diện về tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Điều này không chỉ chuẩn bị cho học sinh một nền tảng vững chắc trong môn toán học mà còn trang bị cho các em kỹ năng cần thiết để đối mặt với những thách thức trong học tập và trong cuộc sống thực tiễn sau này.

đánh giá tài liệu

5/5
( đánh giá)
5 sao
100%
4 sao
0%
3 sao
0%
2 sao
0%
1 sao
0%