1. Môn Toán
  2. bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Thể Loại: TIPS Giải Toán 12
Ngày đăng: 12/07/2019

bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

MonToan.com.vn giới thiệu bài viết hướng dẫn giải bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong chương trình Giải tích 12 chương 1.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA

I. TIỆM CẬN ĐỨNG

Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = – \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = – \infty .\)

II. TIỆM CẬN NGANG

Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}.\)

III. TIỆM CẬN XIÊN

Đường thẳng \(y = ax + b\) \((a \ne 0)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0.\)

Chú ý: Để xác định các hệ số \(a\), \(b\) trong phương trình của tiệm cận xiên ta có thể áp dụng các công thức sau:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}\) \((a \ne 0)\), \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) – ax]\) hoặc \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f(x)}}{x}\) \((a \ne 0)\), \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [f(x) – ax].\)

Nếu \(a = 0\) thì ta có tiệm cận ngang.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

1. PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm tập xác định.

+ Tìm các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + \left( {x_0^ – } \right)} f(x)\) trong đó \({x_0}\) là các điểm đầu khoảng xác định.

+ Nếu một trong giới hạn trên bằng \( \pm \infty \) thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3x – 7}}{{4x – 4}}.\)

b) \(y = \frac{{3x – 8}}{{{x^2} – 3x + 2}}.\)

c) \(y = \frac{{2x + 5}}{{\sqrt {x – 3} }}.\)

d) \(y = \frac{{x – 3}}{{{x^2} + 9}}.\)

e) \(y = \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}.\)

a) Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x – 7}}{{4x – 4}} = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{3x – 7}}{{4x – 4}} = + \infty .\)

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = 1.\)

b) Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 1;2\} .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = + \infty .\)

\( \Rightarrow x = 1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = – \infty .\)

\( \Rightarrow x = 1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị.

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là \(x = 1\) và \(x = 2.\)

c) Tập xác định: \(D = (3; + \infty ).\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 5}}{{\sqrt {x – 3} }} = + \infty \) \( \Rightarrow x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chú ý: Vì tập xác định là \((3; + \infty )\) nên ta chỉ xét giới hạn khi \(x \to {3^ + }.\)

d) Tập xác định: \(D = R.\)

Vì tập xác định của hàm số là \(R\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

e) Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 1;2\} .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x – 1}} = + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{1}{{x – 1}} = – \infty .\)

Nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{x – 1}} = 1.\)

Nên \(x = 2\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là \(x = 1.\)

Vấn đề 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1. PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm tập xác định.

+ Tìm các giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty ( – \infty )} f(x).\)

+ Nếu một trong giới hạn trên bằng \(b\) thì đường thẳng \(y = b\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2. VÍ DỤ

Ví dụ: Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{5 – 4x – {x^2}}}.\)

b) \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} – 1} + 5x + 3}}{{2x + 2}}.\)

a) Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 1; – 5\} .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{5 – 4x – {x^2}}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{5}{{{x^2}}} – \frac{4}{x} – 1}} = – 1.\)

Suy ra đường \(y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: \(D = ( – \infty ; – 1) \cup [1; + \infty ).\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 1} + 5x + 3}}{{2x + 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} + 5 + \frac{3}{x}}}{{2 + \frac{2}{x}}} = 3.\)

Suy ra đường \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị khi \(x \to + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 1} + 5x + 3}}{{2x + 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – \sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} + 5 + \frac{3}{x}}}{{2 + \frac{2}{x}}} = 2.\)

Suy ra đường \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị khi \(x \to – \infty .\)

Vấn đề 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

1. PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm tập xác định.

+ Tìm các giới hạn:

Nếu \(f(x) = ax + b + \frac{c}{{mx + n}}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } [f(x) – (ax + b)] = 0\) nên \(y = ax + b\) là tiệm cận xiên (hay ngang) của đồ thị hàm số.

+ Nếu \(f(x)\) chưa viết được như trên thì ta tìm \(a\), \(b\) theo cách sau:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}\) \((a \ne 0)\), \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) – ax]\) hoặc \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f(x)}}{x}\) \((a \ne 0)\), \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [f(x) – ax].\)

Chú ý: Nếu \(a = 0\) thì ta có đường tiệm cận tìm được là tiệm cận ngang.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ: Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = 4x + 5 + \frac{7}{{2x – 8}}.\)

b) \(y = \sqrt {{x^2} – 4x} + 4x.\)

a) Tập xác định: \(D = R\backslash \{ 4\} .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } [y – (4x + 5)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{7}{{2x – 8}} = 0.\)

Suy ra đường thẳng \(y = 4x + 5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: \(D = ( – \infty ;0] \cup [4; + \infty ).\)

+ Khi \(x \to + \infty \):

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 4x} + 4x}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 – \frac{4}{x}} + 4} \right) = 5.\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y – 5x)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 4x} – x} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – 4x – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – 4x} + x}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 4}}{{\sqrt {1 – \frac{4}{x}} + 1}} = – 2.\)

Vậy khi \(x \to + \infty \) thì đồ thị có tiệm cận xiên là \(y = 5x – 2.\)

+ Khi \(x \to – \infty \):

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{y}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 4x} + 4x}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – \sqrt {1 – \frac{4}{x}} + 4} \right) = 3.\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (y – 3x)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 4x} + x} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} – 4x – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – 4x} – x}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 4}}{{ – \sqrt {1 – \frac{4}{x}} – 1}} = 2.\)

Vậy khi \(x \to – \infty \) thì đồ thị có tiệm cận xiên là \(y = 3x + 2.\)

C. BÀI TẬP

1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x + 3}}{{4 – {x^2}}}.\)

b) \(y = \frac{{3{x^2} + 9x – 12}}{{{x^2} + x – 2}}.\)

c) \(y = 2x – 5 + \frac{2}{{3 – x}}.\)

d) \(y = \frac{{3{x^2} + 4x – 4}}{{x – 3}}.\)

2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = 2x – 4 + \sqrt {{x^2} – 4x + 3} .\)

b) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

3. Cho \(\left( {{C_m}} \right):y = \frac{{2{x^2} + (m + 1)x – 3}}{{x + m}}.\)

a) Định \(m\) để tiệm cận xiên của \(\left( {{{\rm{C}}_m}} \right)\) đi qua \(A(1;5).\)

b) Tìm \(m\) để giao điểm \(2\) tiệm cận của \(\left( {{C_m}} \right)\) thuộc \((P):y = {x^2} – 3.\)

4. Cho \((C):y = \frac{{{x^2} – 2x – 15}}{{x – 3}}.\) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ điểm \(M\) bất kỳ trên \((C)\) đến hai tiệm cận của \((C)\) bằng một hằng số.

5. Cho \(\left( {{C_m}} \right):y = \frac{{{x^2} + mx – 1}}{{x – 1}}.\) Tìm \(m\) sao cho tiệm cận xiên của \(\left( {{C_m}} \right)\) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng \(2.\)

6. Tìm những điểm trên (C): \((C):y = \frac{{2{x^2} + x – 1 + 4\sqrt 5 }}{{x + 1}}\) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Hình Ảnh Chi Tiết

bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số chất lượng là một công cụ quan trọng trong hệ thống giáo dục hiện đại, được thiết kế với mục tiêu không chỉ nhằm đánh giá kiến thức lý thuyết mà còn để kiểm tra các kỹ năng thực hành và khả năng tư duy phản biện của học sinh ở từng cấp học cụ thể. Trong bối cảnh giáo dục ngày càng phát triển, việc đánh giá một cách toàn diện và khách quan là điều cần thiết để giúp học sinh nắm vững kiến thức, đồng thời phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề, một yếu tố then chốt trong quá trình học tập và trong cuộc sống sau này.

Nội Dung Đề Thi: bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số sẽ bao gồm một loạt các bài toán được phân chia thành nhiều phần khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, nhằm phản ánh đầy đủ các lĩnh vực trong chương trình học toán. Các phần này không chỉ giúp kiểm tra kiến thức mà còn khuyến khích học sinh phát huy sự sáng tạo và khả năng tư duy phản biện.

Các Bài Toán Cơ Bản:

Phần này tập trung vào việc kiểm tra kiến thức cơ bản mà học sinh đã học, như các phép toán số học, định nghĩa hình học, và các khái niệm đại số.

Ví dụ: Học sinh sẽ được yêu cầu giải các bài toán tính toán đơn giản, xác định diện tích và chu vi của các hình cơ bản, hay tìm hiểu các tính chất của các đối tượng hình học.

Các Câu Hỏi Mở:

Đây là phần quan trọng nhằm khuyến khích học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập. Các câu hỏi mở yêu cầu học sinh không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức mà còn phải biết phân tích và tổng hợp thông tin để đưa ra các giải pháp đa dạng.

Ví dụ: Một câu hỏi có thể yêu cầu học sinh mô tả cách họ sẽ giải quyết một vấn đề thực tế sử dụng toán học, hoặc đề xuất cách thức tối ưu hóa một quy trình dựa trên các khái niệm toán học mà họ đã học. Tính Tư Duy Sáng Tạo:

Đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn phải khuyến khích khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Các bài toán được thiết kế để học sinh có thể vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào các tình huống mới, qua đó phát triển khả năng tư duy độc lập và sáng tạo.

Ví dụ: Học sinh có thể được yêu cầu thiết kế một bài toán mới dựa trên một khái niệm đã học, từ đó trình bày lý do vì sao bài toán này có thể thú vị và hữu ích.

Khả Năng Giải Quyết Vấn Đề:

Một trong những mục tiêu chính của đề thi là đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Học sinh sẽ được yêu cầu không chỉ tìm ra đáp án đúng mà còn phải trình bày rõ ràng quy trình và logic đã sử dụng để đến được kết quả đó.

Ví dụ: Bài toán có thể yêu cầu học sinh đưa ra các bước giải quyết một bài toán thực tiễn, từ việc phân tích vấn đề đến việc tìm ra giải pháp khả thi.

Kết Luận:

bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số chất lượng là một công cụ quan trọng giúp giáo viên và học sinh đánh giá và cải thiện năng lực toán học. Qua các bài toán đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, từ lý thuyết đến thực tiễn, đề thi không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn thúc đẩy sự phát triển toàn diện về tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Điều này không chỉ chuẩn bị cho học sinh một nền tảng vững chắc trong môn toán học mà còn trang bị cho các em kỹ năng cần thiết để đối mặt với những thách thức trong học tập và trong cuộc sống thực tiễn sau này.

đánh giá tài liệu

5/5
( đánh giá)
5 sao
100%
4 sao
0%
3 sao
0%
2 sao
0%
1 sao
0%