Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Bài 4. Khoảng cách trong không gian - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 4 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc tìm hiểu và vận dụng các công thức tính khoảng cách giữa các điểm, giữa điểm và đường thẳng, giữa hai đường thẳng trong không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình hình học không gian, giúp học sinh phát triển tư duy không gian và khả năng giải quyết vấn đề.

1. Khoảng cách giữa hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B). Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính theo công thức:

AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

2. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và đường thẳng Δ có phương trình:

{ x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct }

Khoảng cách d từ điểm M đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:

d = |[ (x₀ - x₁)b - (y₀ - y₁)a ]| / √(a² + b² + c²)

Trong đó (x₁, y₁, z₁) là một điểm thuộc đường thẳng Δ.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Có hai trường hợp chính:

• Trường hợp 1: Hai đường thẳng song song.

Nếu hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ song song, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm thuộc Δ₁ đến Δ₂ (hoặc ngược lại).

• Trường hợp 2: Hai đường thẳng cắt nhau.

Nếu hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ cắt nhau, khoảng cách giữa chúng bằng 0.

• Trường hợp 3: Hai đường thẳng chéo nhau.

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể sử dụng công thức:

d = |(AB.AC)| / ||AB x AC||

Trong đó A và B là hai điểm thuộc Δ₁, C là một điểm thuộc Δ₂, AB x AC là tích có hướng của hai vector AB và AC.

4. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để giúp các em hiểu rõ hơn về cách tính khoảng cách trong không gian:

1. Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tính khoảng cách AB.
2. Cho điểm M(2, -1, 0) và đường thẳng Δ: x = 1 + t, y = -1 + 2t, z = 3t. Tính khoảng cách từ M đến Δ.
3. Cho hai đường thẳng Δ₁: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và Δ₂: x = 2 + t', y = 1 + t', z = 4 + t'. Tính khoảng cách giữa Δ₁ và Δ₂.

5. Lưu ý khi giải bài tập

• Luôn kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để chọn phương pháp giải phù hợp.
• Sử dụng đúng công thức tính khoảng cách.
• Chú ý đến việc biểu diễn các điểm và đường thẳng trong không gian.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán.

Kết luận

Bài 4. Khoảng cách trong không gian là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian. Chúc các em học tập tốt!