Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - SGK Toán 12

Bài 2 trong chương trình Toán 12 tập 2, Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian, tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

I. Khái niệm cơ bản về đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, một đường thẳng được xác định bởi một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương của đường thẳng có vai trò quan trọng trong việc xác định hướng của đường thẳng.

• Điểm thuộc đường thẳng: M₀(x₀; y₀; z₀)
• Vectơ chỉ phương:a = (a₁; a₂; a₃)

II. Các dạng phương trình của đường thẳng trong không gian

Có ba dạng phương trình chính để biểu diễn một đường thẳng trong không gian:

1. Phương trình tham số:

   x = x₀ + at

   y = y₀ + bt

   z = z₀ + ct

2. Phương trình chính tắc:

   (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

3. Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng:

   Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.

III. Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng

Việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là một bài toán thường gặp. Có ba trường hợp có thể xảy ra:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng không song song và không vuông góc với mặt phẳng.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a = (4; 5; 6).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là:

x = 1 + 4t

y = 2 + 5t

z = 3 + 6t

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d: (x - 1)/2 = (y + 1)/3 = (z - 2)/1 và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0.

Giải: Vectơ chỉ phương của d là a = (2; 3; 1). Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1; 1; 1). Ta thấy a.n = 2 + 3 + 1 = 6 ≠ 0, do đó đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Các bài tập có thể bao gồm việc lập phương trình đường thẳng, xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, và giải các bài toán ứng dụng.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương trình đường thẳng trong không gian. Chúc các em học tập tốt!