Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 19 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào hai khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo hai công thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt là trong các tình huống thực tế.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Giả sử A là một biến cố. Gọi B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và tổng của chúng là không gian mẫu Ω (B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 0.024.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.

Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất có điều kiện của A khi biết B được tính theo công thức:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Trong đó, P(B) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Một người được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất người đó mắc bệnh.

Giải:

• Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”.
• Gọi B là biến cố “kết quả xét nghiệm dương tính”.

Ta có:

• P(A) = 0.01
• P(¬A) = 0.99
• P(B|A) = 0.95
• P(¬B|¬A) = 0.95 => P(B|¬A) = 0.05

Tính P(B) bằng công thức xác suất toàn phần:

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

Áp dụng công thức Bayes:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161

Vậy, xác suất người đó mắc bệnh là khoảng 16.1%.

3. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ.
• Bài 2: Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng ít nhất 2 phát.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc bạn học tốt!