Bài 17. Hàm số liên tục

Hàm số liên tục là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong giải tích. Nó đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số và ứng dụng của chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

Hàm số f(x) xác định tại x₀, tức là f(x₀) có nghĩa.
Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀, tức là lim_x→x₀f(x) tồn tại.
Giá trị của hàm số tại x₀ bằng giới hạn của hàm số khi x tiến tới x₀, tức là lim_x→x₀f(x) = f(x₀).

2. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Các tính chất của hàm số liên tục

Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu số khác 0) là một hàm số liên tục.
Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

4. Các hàm số liên tục thường gặp

Hàm đa thức là hàm số liên tục trên R.
Hàm phân thức là hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
Hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) là hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
Hàm mũ và hàm logarit là hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

5. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x² + 1. Đây là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên R. Điều này có nghĩa là tại bất kỳ điểm nào x₀ thuộc R, ta đều có lim_x→x₀f(x) = f(x₀).

6. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục trên khoảng nào?

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số f(x) = sin(x) liên tục trên R.

7. Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác. Ví dụ, nó được sử dụng để chứng minh các định lý về giá trị trung gian, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ngoài ra, nó còn được ứng dụng trong việc giải các bài toán tối ưu hóa, mô hình hóa các hiện tượng vật lý và kỹ thuật.

8. Kết luận

Bài học về hàm số liên tục đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về khái niệm này. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về giải tích và ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.