Bài 16. Giới hạn của hàm số

Bài 16 trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng. Đây là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho các khái niệm giải tích cao hơn.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta xét các trường hợp x tiến tới a từ bên trái và bên phải.

• Giới hạn bên trái: lim_x→a^- f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (x < a).
• Giới hạn bên phải: lim_x→a⁺ f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (x > a).

Giới hạn của f(x) tại a tồn tại khi và chỉ khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại a cùng tồn tại và bằng nhau. Tức là: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L.

2. Khái niệm giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng

Khi x tiến tới vô cùng (x → +∞ hoặc x → -∞), hàm số f(x) có thể tiến tới một giá trị hữu hạn L (gọi là giới hạn hữu hạn) hoặc tiến tới vô cùng (+∞ hoặc -∞).

Ví dụ:

• lim_x→+∞ 1/x = 0 (giới hạn hữu hạn)
• lim_x→+∞ x² = +∞ (giới hạn vô cùng)

3. Các dạng giới hạn thường gặp và phương pháp tính giới hạn

Trong quá trình học tập, các em sẽ gặp nhiều dạng giới hạn khác nhau. Dưới đây là một số dạng giới hạn thường gặp và phương pháp tính giới hạn:

• Giới hạn của đa thức: Thay trực tiếp giá trị của x vào đa thức.
• Giới hạn của phân thức hữu tỉ: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x ở mẫu.
• Giới hạn sử dụng các công thức giới hạn đặc biệt: Ví dụ: lim_x→0 sinx/x = 1, lim_x→0 (1+x)^1/x = e.
• Giới hạn sử dụng định lý giới hạn: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x),...

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy cùng giải một số bài tập vận dụng sau:

1. Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)
2. Tính lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 3)
3. Tính lim_x→0 sin(3x) / x

Hướng dẫn giải:

Bài 1: (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2. Vậy lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = 2 + 2 = 4.

Bài 2: Chia cả tử và mẫu cho x: lim_x→+∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = 2/1 = 2.

Bài 3: Sử dụng công thức lim_x→0 sinx/x = 1: lim_x→0 sin(3x) / x = 3 * lim_x→0 sin(3x) / (3x) = 3 * 1 = 3.

5. Kết luận

Bài 16. Giới hạn của hàm số là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về các khái niệm giải tích và có thể áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!